三角関数例

${(1 + i)}^{4}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.3

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.5

$6$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.7

$6$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.8

$4$ に $1$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

ステップ 2.1.9

$i^{2}$ を因数分解します。

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

ステップ 2.1.10

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

ステップ 2.1.11

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

ステップ 2.1.12

$- 1$ に $4$ をかけます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

ステップ 2.1.13

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.13.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

ステップ 2.1.13.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

ステップ 2.1.13.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

ステップ 2.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ から $6$ を引きます。

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

ステップ 2.2.2

$- 5$ と $1$ をたし算します。

$- 4 + 4 i - 4 i$

ステップ 2.2.3

$4 i$ から $4 i$ を引きます。

$- 4 + 0$

ステップ 2.2.4

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 3

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 4

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5

$a = - 4$ と $b = 0$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 6

$| z |$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 6.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

ステップ 6.3

$0$ と $16$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{16}$

ステップ 6.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

ステップ 6.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 4$

ステップ 7

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

ステップ 8

$\frac{0}{- 4}$ の逆正接が第二象限で角を作るので、角の値は $π$ です。

$θ = π$

ステップ 9

$θ = π$ と $| z | = 4$ の値を代入します。

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$

三角関数 例

三角関数例