三角関数例

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\tan (2 x)$

ステップ 2

正切2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

ステップ 3

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 3.1

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

ステップ 3.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 3.3

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 4.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 4.2.2

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ を ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 4.2.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ です。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 4.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 4.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 4.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

ステップ 4.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 4.3

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

ステップ 4.4

分母を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

ステップ 4.4.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

ステップ 4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

ステップ 4.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

ステップ 4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 4.6

まとめる。

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

ステップ 4.7

${\cos (x)}^{2}$ と $\cos (x)$ の共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 5

項を並べ替えます。

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

ステップ 6

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ を $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ に書き換えます。

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

ステップ 7

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例