三角関数例

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

ステップ 1

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\tan (x)$ を $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\tan (x)$ を $\tan^{5} (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2

$\tan (x)$ を $- 9 \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

ステップ 1.1.3

$\tan (x)$ を $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ で因数分解します。

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

ステップ 1.2

$\tan^{4} (x)$ を ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

ステップ 1.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 1.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \tan^{2} (x)$ であり、 $b = 3$ です。

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

ステップ 1.4.2

不要な括弧を削除します。

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 3

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 3.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 3.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan^{2} (x) + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\tan^{2} (x) + 3$ が $0$ に等しいとします。

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\tan^{2} (x) = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.6

$\tan (x) = i \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

ステップ 4.2.6.2

$\arctan (i \sqrt{3})$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 4.2.7

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

ステップ 4.2.7.2

$\arctan (- i \sqrt{3})$ の逆正切は未定義です。

未定義

ステップ 4.2.8

すべての解をまとめます。

解がありません

ステップ 5

$\tan^{2} (x) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\tan^{2} (x) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\tan^{2} (x) = 3$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 5.2.5

$\tan (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 5.2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 5.2.5.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 5.2.5.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.5.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.5.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.6

$\tan (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 5.2.6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 5.2.6.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 5.2.6.4.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.6.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 5.2.6.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.6.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5.2.6.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8.2

$\frac{2 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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