三角関数例

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$2 \sin (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot (2 \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \tan (x) = 0$

ステップ 1.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.2

分数を分解します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.4

$2 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

ステップ 1.2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x) = 0$

ステップ 2

$\tan (x)$ を $2 \sin (x) \tan (x) + \tan (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$\tan (x)$ を $2 \sin (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

ステップ 2.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) = 0$

ステップ 2.3

$\tan (x)$ を $\tan^{1} (x)$ で因数分解します。

$\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4

$\tan (x)$ を $\tan (x) (2 \sin (x)) + \tan (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 4

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 180 + 0$

ステップ 4.2.4

$180$ と $0$ をたし算します。

$x = 180$

ステップ 4.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{180}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{180}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{180}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{180}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$180$ を $1$ で割ります。

$180$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $180$ なので、両方向で $180$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 180 n, 180 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$2 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- 30$ です。

$x = - 30$

ステップ 5.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $180$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 360 + 30 + 180$

ステップ 5.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

$360 + 30 + 180 °$ から $360 °$ を引きます。

$x = 360 + 30 + 180 ° - 360 °$

ステップ 5.2.6.2

$210 °$ の結果の角度は正で、 $360 °$ より小さく、 $360 + 30 + 180$ と隣接します。

$x = 210 °$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 5.2.8

$360$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 5.2.8.1

$360$ を $- 30$ に足し、正の角を求めます。

$- 30 + 360$

ステップ 5.2.8.2

$360$ から $30$ を引きます。

$330$

ステップ 5.2.8.3

新しい角をリストします。

$x = 330$

ステップ 5.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$x = 210 + 360 n, 330 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $\tan (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 180 n, 180 + 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$180 + 180 n$ と $180 n$ を $180 n$ にまとめます。

$x = 180 n, 210 + 360 n, 330 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例