三角関数例

$2 \sin^{2} (x) = 2 + \cos (x)$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$2 \sin^{2} (x) - 2 = \cos (x)$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $\cos (x)$ を引きます。

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) = 0$

ステップ 2

$2 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \sin^{2} (x)$ と $- 2$ を並べ替えます。

$- 2 + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- 2 (1) + 2 \sin^{2} (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.3

$- 2$ を $2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.4

$- 2$ を $- 2 (1) - 2 (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$- 2 (1 - \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$u = \cos (x)$ とします。 $u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- 2 u^{2} - u = 0$

ステップ 3.1.2

$u$ を $- 2 u^{2} - u$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

$u$ を $- 2 u^{2}$ で因数分解します。

$u (- 2 u) - u = 0$

ステップ 3.1.2.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$u (- 2 u) + u \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.1.2.3

$u$ を $u (- 2 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$u (- 2 u - 1) = 0$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.3

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.3.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.3.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.3.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.3.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

$- 2 \cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$- 2 \cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $- 2 \cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 \cos (x) = 1$

ステップ 3.4.2.2

$- 2 \cos (x) = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$- 2 \cos (x) = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{1}{- 2}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 3.4.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 3.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.5

最終解は $\cos (x) (- 2 \cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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