微分積分学準備例

$f (x) = \frac{2}{x^{3} - x}$

ステップ 1

式 $\frac{2}{x^{3} - x}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 1, x = 0, x = 1$

ステップ 2

$\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- 1$ 、 $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 1$ としているので、 $x = - 1$ は垂直漸近線です。

$x = - 1$

ステップ 3

$\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ を左から $x$ $\to$ $0$ 、 $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ を右から $x$ $\to$ $0$ としているので、 $x = 0$ は垂直漸近線です。

$x = 0$

ステップ 4

$\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $1$ 、 $\frac{2}{x^{3} - x}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $1$ としているので、 $x = 1$ は垂直漸近線です。

$x = 1$

ステップ 5

すべての垂直漸近線のリスト：

$x = - 1, 0, 1$

ステップ 6

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 7

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 0$

$m = 3$

ステップ 8

$n < m$ なので、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

$y = 0$

ステップ 9

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 10

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 1, 0, 1$

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 11

微分積分学準備 例