微分積分学準備例

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{16}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

ステップ 2

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 3.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

ステップ 3.2.1.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

$- \frac{x^{2}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

ステップ 3.2.1.3.2

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

ステップ 3.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 3.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

ステップ 3.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 5.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 5.1.2

$\frac{x^{2}}{4}$ を ${(\frac{x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = \frac{x}{2}$ です。

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.6

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.7

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.8

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

ステップ 5.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

ステップ 5.10

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

ステップ 5.11

$\frac{4 + x}{2}$ に $\frac{4 - x}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.12

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

ステップ 5.13

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 5.13.1

$(4 + x) (4 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

ステップ 5.13.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 5.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

ステップ 5.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

ステップ 5.15

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

ステップ 7

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

ステップ 8.2

$4 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.2.1

$4 + x$ が $0$ に等しいとします。

$4 + x = 0$

ステップ 8.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 8.3

$4 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.3.1

$4 - x$ が $0$ に等しいとします。

$4 - x = 0$

ステップ 8.3.2

$x$ について $4 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 8.3.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 8.3.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 8.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 8.4

最終解は $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 8.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 8.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.6.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 8.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

ステップ 8.6.1.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.2

区間 $- 4 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.2.1

区間 $- 4 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 8.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

ステップ 8.6.2.3

左辺 $16$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.6.3

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.6.3.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 8.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

ステップ 8.6.3.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < 4$ 真

$x > 4$ 偽

ステップ 8.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 \leq x \leq 4$

ステップ 9

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 4, 4]$

集合の内包的記法：

${x | - 4 \leq x \leq 4}$

ステップ 10

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 2, 2]$

集合の内包的記法：

${y | - 2 \leq y \leq 2}$

ステップ 11

定義域と値域を判定します。

定義域： $[- 4, 4], {x | - 4 \leq x \leq 4}$

値域： $[- 2, 2], {y | - 2 \leq y \leq 2}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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