微分積分学準備例

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{x^{2} - 4}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{x^{2} - 2^{2}}$

ステップ 1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$\frac{5 x^{2} + x + 2}{(x + 2) (x - 2)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 2) (x - 2)$ です。

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.5

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.6

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(5 x^{2} + x + 2) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.6.2

$5 x^{2} + x + 2$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + x + 2 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$x + 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} + x + 2 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x - 2)$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + x + 2 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + x + 2 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.3

$- 2$ を $A$ の左に移動させます。

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.4

$x - 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

ステップ 1.7.4.2

$(B) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

ステップ 1.7.6

$2$ を $B$ の左に移動させます。

$5 x^{2} + x + 2 = A x - 2 A + B x + 2 B$

ステップ 1.8

$- 2 A$ を移動させます。

$5 x^{2} + x + 2 = A x + B x - 2 A + 2 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$2 = - 2 A + 2 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$2 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$2 = - 2 A + 2 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$2 = - 2 A + 2 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$2 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 A + 2 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$2 = - 2 A + 2 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$2 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 2 (1 - B) + 2 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$2 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$2 B$ と $2 B$ をたし算します。

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$2 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$2 = - 2 + 4 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $- 2 + 4 B = 2$ として書き換えます。

$- 2 + 4 B = 2$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 B = 2 + 2$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4 B = 4$

$A = 1 - B$

$4 B = 4$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$4 B = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$4 B = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 B}{4} = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 B}{4} = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{4}{4}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

$B = 1$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$A = 1 - (1)$

$B = 1$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (1)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A = 1 - 1$

$B = 1$

ステップ 3.4.2.1.2

$1$ から $1$ を引きます。

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

$A = 0$

$B = 1$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = 0, B = 1$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{0}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}$

微分積分学準備 例

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