微分積分学準備例

$\frac{x}{(x^{2} + 9) (x + 1)}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。因数は2次なので、 $2$ 項が分子に必要です。分子に必要な項数は常に分母の因数の次数と同じです。

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x^{2} + 9) (x + 1)$ です。

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.4

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x^{2} + 9) (x + 1)}{(x^{2} + 9) (x + 1)} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.5

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.1

$x^{2} + 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{(A x + B) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x^{2} + 9} + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.1.2

$(A x + B) (x + 1)$ を $1$ で割ります。

$x = (A x + B) (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(A x + B) (x + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.6.2.1

分配則を当てはめます。

$x = A x (x + 1) + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.2

分配則を当てはめます。

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B (x + 1) + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.2.3

分配則を当てはめます。

$x = A x \cdot x + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.3

各項を簡約します。

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ステップ 1.6.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.3.1.1

$x$ を移動させます。

$x = A (x \cdot x) + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x = A x^{2} + A x \cdot 1 + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.3.2

$A$ に $1$ をかけます。

$x = A x^{2} + A x + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.3.3

$B$ に $1$ をかけます。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.4

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + \frac{(C) (x^{2} + 9) (x + 1)}{x + 1}$

ステップ 1.6.4.2

$(C) (x^{2} + 9)$ を $1$ で割ります。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + (C) (x^{2} + 9)$

ステップ 1.6.5

分配則を当てはめます。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + C \cdot 9$

ステップ 1.6.6

$9$ を $C$ の左に移動させます。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

ステップ 1.7

式を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$x = A x^{2} + A x + B x + B + C x^{2} + 9 C$

ステップ 1.7.2

$B$ を移動させます。

$x = A x^{2} + A x + B x + C x^{2} + B + 9 C$

ステップ 1.7.3

$B x$ を移動させます。

$x = A x^{2} + A x + C x^{2} + B x + B + 9 C$

ステップ 1.7.4

$A x$ を移動させます。

$x = A x^{2} + C x^{2} + A x + B x + B + 9 C$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = B + 9 C$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$0 = A + C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$0 = A + C$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $A + C = 0$ として書き換えます。

$A + C = 0$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $C$ を引きます。

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

$A = - C$

$1 = A + B$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$1 = A + B$ の $A$ のすべての発生を $- C$ で置き換えます。

$1 = (- C) + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$1 = - C + B$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.3

$1 = - C + B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- C + B = 1$ として書き換えます。

$- C + B = 1$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $C$ を足します。

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = B + 9 C$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $1 + C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$0 = B + 9 C$ の $B$ のすべての発生を $1 + C$ で置き換えます。

$0 = (1 + C) + 9 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$C$ と $9 C$ をたし算します。

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$0 = 1 + 10 C$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5

$0 = 1 + 10 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $1 + 10 C = 0$ として書き換えます。

$1 + 10 C = 0$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$10 C = - 1$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5.3

$10 C = - 1$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.3.1

$10 C = - 1$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 C}{10} = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = \frac{- 1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

$C = - \frac{1}{10}$

$B = 1 + C$

$A = - C$

ステップ 3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $- \frac{1}{10}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$B = 1 + C$ の $C$ のすべての発生を $- \frac{1}{10}$ で置き換えます。

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

ステップ 3.6.2

$B = 1 - \frac{1}{10}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1.1

括弧を削除します。

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = 1 - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

ステップ 3.6.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1

$1 - \frac{1}{10}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$B = \frac{10}{10} - \frac{1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

ステップ 3.6.2.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$B = \frac{10 - 1}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

ステップ 3.6.2.2.1.3

$10$ から $1$ を引きます。

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = - C$

ステップ 3.6.3

$A = - C$ の $C$ のすべての発生を $- \frac{1}{10}$ で置き換えます。

$A = - (- \frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

ステップ 3.6.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

$- (- \frac{1}{10})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 (\frac{1}{10})$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

ステップ 3.6.4.1.2

$\frac{1}{10}$ に $1$ をかけます。

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

$A = \frac{1}{10}$

$B = \frac{9}{10}$

$C = - \frac{1}{10}$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{10}, B = \frac{9}{10}, C = - \frac{1}{10}$

ステップ 4

$\frac{A x + B}{x^{2} + 9} + \frac{C}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{10 x} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

ステップ 5

$\frac{1}{10}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{10} + \frac{9}{10}}{x^{2} + 9} + \frac{- \frac{1}{10}}{x + 1}$

微分積分学準備 例

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