微分積分学準備例

$5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9$

ステップ 1

$5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$5 x^{4} - 4 x^{3} + 44 x^{2} - 36 x - 9 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$- 4 x^{3} - 36 x + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 4 x$ を $- 4 x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 36 x + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$- 4 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot 9 + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$- 4 x$ を $- 4 x (x^{2}) - 4 x (9)$ で因数分解します。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 x^{4} + 44 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 {(x^{2})}^{2} + 44 x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + 44 u - 9 = 0$

ステップ 2.1.5

群による因数分解。

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ステップ 2.1.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 9 = - 45$ で和が $b = 44$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.5.1.1

$44$ を $44 u$ で因数分解します。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + 44 (u) - 9 = 0$

ステップ 2.1.5.1.2

$44$ を $- 1$ プラス $45$ に書き換える

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} + (- 1 + 45) u - 9 = 0$

ステップ 2.1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} - 1 u + 45 u - 9 = 0$

ステップ 2.1.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- 4 x (x^{2} + 9) + 5 u^{2} - 1 u + 45 u - 9 = 0$

ステップ 2.1.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- 4 x (x^{2} + 9) + u (5 u - 1) + 9 (5 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.5.3

最大公約数 $5 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- 4 x (x^{2} + 9) + (5 u - 1) (u + 9) = 0$

ステップ 2.1.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- 4 x (x^{2} + 9) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

ステップ 2.1.7

$x^{2} + 9$ を $- 4 x (x^{2} + 9) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.7.1

$x^{2} + 9$ を $- 4 x (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (- 4 x) + (5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9) = 0$

ステップ 2.1.7.2

$x^{2} + 9$ を $(5 x^{2} - 1) (x^{2} + 9)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (- 4 x) + (x^{2} + 9) (5 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.7.3

$x^{2} + 9$ を $(x^{2} + 9) (- 4 x) + (x^{2} + 9) (5 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (- 4 x + 5 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 9) (- 4 u + 5 u^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.1.9

群による因数分解。

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ステップ 2.1.9.1

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.9.2.1

$- 4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.2.2

$- 4$ を $1$ プラス $- 5$ に書き換える

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + (1 - 5) u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.2.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + 1 u - 5 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 9) (5 u^{2} + u - 5 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.9.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{2} + 9) ((5 u^{2} + u) - 5 u - 1) = 0$

ステップ 2.1.9.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x^{2} + 9) (u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

ステップ 2.1.9.4

最大公約数 $5 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{2} + 9) ((5 u + 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10

因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 9) ((5 x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 9) (5 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 9 = 0$

$5 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 2.3.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 2.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 2.3.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.3.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 2.3.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 2.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 2.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 2.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 2.4

$5 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$5 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $5 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$5 x = - 1$

ステップ 2.4.2.2

$5 x = - 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$5 x = - 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 1}{5}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{5}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{5}$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

最終解は $(x^{2} + 9) (5 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3 i, - 3 i, - \frac{1}{5}, 1$

ステップ 3

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