微分積分学準備例

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}$

ステップ 1

両辺に $x^{2} - 16$ を掛けます。

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$x^{2} - 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a x + b}{x^{2} - 16} (x^{2} - 16) = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$(\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\frac{A}{x - 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 4}{x + 4}$ を掛けます。

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{B}{x + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$a x + b = (\frac{A}{x - 4} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 4) (x + 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.2.1.3.1

$\frac{A}{x - 4}$ に $\frac{x + 4}{x + 4}$ をかけます。

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B}{x + 4} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.3.2

$\frac{B}{x + 4}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.3.3

$(x - 4) (x + 4)$ の因数を並べ替えます。

$a x + b = (\frac{A (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}) (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.4

公分母の分子をまとめます。

$a x + b = \frac{A (x + 4) + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$a x + b = \frac{A x + A \cdot 4 + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.5.2

$4$ を $A$ の左に移動させます。

$a x + b = \frac{A x + 4 \cdot A + B (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x + B \cdot - 4}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.5.4

$- 4$ を $B$ の左に移動させます。

$a x + b = \frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)} (x^{2} - 16)$

ステップ 2.2.1.6

$\frac{A x + 4 A + B x - 4 B}{(x + 4) (x - 4)}$ に $x^{2} - 16$ をかけます。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 16)}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2.2.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.1.7.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x^{2} - 4^{2})}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2.2.1.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2.2.1.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.2.1.8.1

$x + 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.8.1.1

共通因数を約分します。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x + 4) (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)}$

ステップ 2.2.1.8.1.2

式を書き換えます。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

ステップ 2.2.1.8.2

$x - 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$a x + b = \frac{(A x + 4 A + B x - 4 B) (x - 4)}{x - 4}$

ステップ 2.2.1.8.2.2

$A x + 4 A + B x - 4 B$ を $1$ で割ります。

$a x + b = A x + 4 A + B x - 4 B$

ステップ 2.2.1.8.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.8.3.1

$A$ と $x$ を並べ替えます。

$a x + b = x A + 4 A + B x - 4 B$

ステップ 2.2.1.8.3.2

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$a x + b = x A + 4 A + x B - 4 B$

ステップ 2.2.1.8.3.3

$4 A$ を移動させます。

$a x + b = x A + x B + 4 A - 4 B$

ステップ 3

$a$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $b$ を引きます。

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$

ステップ 3.2

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$a x = x A + x B + 4 A - 4 B - b$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{a x}{x} = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.2.1.2

$a$ を $1$ で割ります。

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$a = \frac{x A}{x} + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$a = A + \frac{x B}{x} + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3.1.2.2

$B$ を $1$ で割ります。

$a = A + B + \frac{4 A}{x} + \frac{- 4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} + \frac{- b}{x}$

ステップ 3.2.3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$a = A + B + \frac{4 A}{x} - \frac{4 B}{x} - \frac{b}{x}$

微分積分学準備 例

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