微分積分学準備例

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$

ステップ 1

左辺 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.1

$- \frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} \cdot \frac{4}{4} = 1$

ステップ 1.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = 1$

ステップ 1.2.2

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

ステップ 1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {(y + 3)}^{2} \cdot 4}{16} = 1$

ステップ 1.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.4.1

${(y + 3)}^{2} \cdot 4$ を ${((y + 3) \cdot 2)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(x - 4)}^{2} - {((y + 3) \cdot 2)}^{2}}{16} = 1$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x - 4$ であり、 $b = (y + 3) \cdot 2$ です。

$\frac{(x - 4 + (y + 3) \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3

簡約します。

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ステップ 1.4.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 4 + y \cdot 2 + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 3 \cdot 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x - 4 + 2 \cdot y + 6) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.4

$- 4$ と $6$ をたし算します。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - ((y + 3) \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.5

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (y \cdot 2 + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.6

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 3 \cdot 2))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 \cdot y + 6))}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.8

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - (2 y) - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 1 \cdot 6)}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.10

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 4 - 2 y - 6)}{16} = 1$

ステップ 1.4.3.11

$- 4$ から $6$ を引きます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} = 1$

ステップ 2

両辺に $16$ を掛けます。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16$ を簡約します。

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ステップ 3.1.1.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)}{16} \cdot 16 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10) = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + 2 y + 2) (x - 2 y - 10)$ を展開します。

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3

項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.1

$x \cdot x + x (- 2 y) + x \cdot - 10 + 2 y x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.1.1.3.1.1

$x (- 2 y)$ と $2 y x$ について因数を並べ替えます。

$x \cdot x - 2 x y + x \cdot - 10 + 2 x y + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.1.2

$- 2 x y$ と $2 x y$ をたし算します。

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 0 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.1.3

$x \cdot x + x \cdot - 10$ と $0$ をたし算します。

$x \cdot x + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot - 10 + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.2

$- 10$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 10 \cdot x + 2 y (- 2 y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.4

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1.3.2.4.1

$y$ を移動させます。

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.4.2

$y$ に $y$ をかけます。

$x^{2} - 10 x + 2 \cdot - 2 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} + 2 y \cdot - 10 + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.6

$- 10$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x + 2 (- 2 y) + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y + 2 \cdot - 10 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.2.8

$2$ に $- 10$ をかけます。

$x^{2} - 10 x - 4 y^{2} - 20 y + 2 x - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.1.1.3.3.1

$- 10 x$ と $2 x$ をたし算します。

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 20 y - 4 y - 20 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.3.2

$- 20 y$ から $4 y$ を引きます。

$x^{2} - 8 x - 4 y^{2} - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.1.1.3.3.3

$- 8 x$ を移動させます。

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 1 \cdot 16$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$16$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 = 16$

ステップ 4

方程式を0とします。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 20 - 16 = 0$

ステップ 4.2

$- 20$ から $16$ を引きます。

$x^{2} - 4 y^{2} - 8 x - 24 y - 36 = 0$

微分積分学準備 例

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