微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1 + x}{e^{\cos (x)}}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = e^{\cos (x)}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{{(e^{\cos (x)})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(e^{\cos (x)})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{\cos (x) \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{\cos (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{\cos (x)} (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{\cos (x)} \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 2.6

$e^{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) \frac{d}{d x} [e^{\cos (x)}]}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{e^{\cos (x)} - (1 + x) (e^{\cos (x)} (- \sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 5

掛け算します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 5.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 + x) (e^{\cos (x)} (\sin (x)))}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\cos (x)} + (1 e^{\cos (x)} + x e^{\cos (x)}) \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\cos (x)} + 1 e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 6.3

$e^{\cos (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\cos (x)} + e^{\cos (x)} \sin (x) + x e^{\cos (x)} \sin (x)}{e^{2 \cos (x)}}$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\cos (x)} \sin (x) + e^{\cos (x)} x \sin (x) + e^{\cos (x)}}{e^{2 \cos (x)}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例