微分積分学準備例

$4 x^{2} + 16 x + 4 y^{2} + 16 y + 16 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$4 x^{2} + 16 x + 4 y^{2} + 16 y = - 16$

ステップ 2

方程式の両辺を $4$ で割ります。

$x^{2} + 4 x + y^{2} + 4 y = - 4$

ステップ 3

$x^{2} + 4 x$ の平方完成。

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ステップ 3.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

ステップ 3.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 3.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 3.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 3.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 3.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 3.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 3.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 3.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x + 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} - 4$

ステップ 4

${(x + 2)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + 4 x + y^{2} + 4 y = - 4$ の中の $x^{2} + 4 x$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = - 4$

ステップ 5

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 2)}^{2} + y^{2} + 4 y = - 4 + 4$

ステップ 6

$y^{2} + 4 y$ の平方完成。

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ステップ 6.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

ステップ 6.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 6.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$2$ を $2 \cdot 1$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

ステップ 6.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{2}{1}$

ステップ 6.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$d = 2$

ステップ 6.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 6.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.2.1.1

$4^{2}$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1.1.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 1$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

ステップ 6.4.2.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

ステップ 6.4.2.1.1.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{4}{1}$

ステップ 6.4.2.1.1.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 6.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 6.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 6.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + 2)}^{2} - 4$ に代入します。

${(y + 2)}^{2} - 4$

ステップ 7

${(y + 2)}^{2} - 4$ を方程式 $x^{2} + 4 x + y^{2} + 4 y = - 4$ の中の $y^{2} + 4 y$ に代入します。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = - 4 + 4$

ステップ 8

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = - 4 + 4 + 4$

ステップ 9

$- 4 + 4 + 4$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 4$ と $4$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 0 + 4$

ステップ 9.2

$0$ と $4$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$

ステップ 10

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 11

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = 2$

$h = - 2$

$k = - 2$

ステップ 12

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(- 2, - 2)$

ステップ 13

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 2, - 2)$

半径： $2$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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