微分積分学準備例

$\frac{4 y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1

各項を因数分解します。

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ステップ 1.1

$4$ を $4 y^{2} - 8 y + 12$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{2}) - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1.1.2

$4$ を $- 8 y$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1.1.3

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1.1.4

$4$ を $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1.1.5

$4$ を $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{y^{2} + y - 6} = 3$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $y^{2} + y - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$

ステップ 2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(y - 2) (y + 3), 1$

ステップ 2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(y - 2) (y + 3)$

ステップ 3

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ の各項に $(y - 2) (y + 3)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.1

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ の各項に $(y - 2) (y + 3)$ を掛けます。

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$(y - 2) (y + 3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.2.1.2

式を書き換えます。

$4 (y^{2} - 2 y + 3) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.2.3

簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$4 y^{2} - 8 y + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.2.3.2

$4$ に $3$ をかけます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(y - 2) (y + 3)$ を展開します。

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ステップ 3.3.1.1

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y (y + 3) - 2 (y + 3))$

ステップ 3.3.1.2

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 (y + 3))$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

ステップ 3.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$y$ に $y$ をかけます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ を $y$ の左に移動させます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 \cdot y - 2 y - 2 \cdot 3)$

ステップ 3.3.2.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 y - 2 y - 6)$

ステップ 3.3.2.2

$3 y$ から $2 y$ を引きます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y - 6)$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y + 3 \cdot - 6$

ステップ 3.3.4

$3$ に $- 6$ をかけます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y - 18$

ステップ 4

方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $3 y^{2}$ を引きます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} = 3 y - 18$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺から $3 y$ を引きます。

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} - 3 y = - 18$

ステップ 4.1.3

$4 y^{2}$ から $3 y^{2}$ を引きます。

$y^{2} - 8 y + 12 - 3 y = - 18$

ステップ 4.1.4

$- 8 y$ から $3 y$ を引きます。

$y^{2} - 11 y + 12 = - 18$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$y^{2} - 11 y + 12 + 18 = 0$

ステップ 4.3

$12$ と $18$ をたし算します。

$y^{2} - 11 y + 30 = 0$

ステップ 4.4

たすき掛けを利用して $y^{2} - 11 y + 30$ を因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $30$ で、その和が $- 11$ です。

$- 6, - 5$

ステップ 4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(y - 6) (y - 5) = 0$

ステップ 4.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

ステップ 4.6

$y - 6$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$y - 6$ が $0$ に等しいとします。

$y - 6 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 6$

ステップ 4.7

$y - 5$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 4.7.1

$y - 5$ が $0$ に等しいとします。

$y - 5 = 0$

ステップ 4.7.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$y = 5$

ステップ 4.8

最終解は $(y - 6) (y - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 6, 5$

微分積分学準備 例

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