微分積分学準備例

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺に $8 y$ を足します。

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺に $12$ を足します。

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

ステップ 1.1.2

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$8$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$4$ を $8 y$ で因数分解します。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

$\frac{2 y}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

$- 1 \cdot (2 y)$ を $- (2 y)$ に書き換えます。

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.5

$12$ を $- 4$ で割ります。

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.3.2.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$d = - 4$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$4$ を $1$ で割ります。

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.2.4.2.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = - 3 - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 3$ から $4$ を引きます。

$e = - 7$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 7, 4)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例