微分積分学準備例

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

ステップ 1

たすき掛けします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0$ に $x + 1$ をかけます。

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\sqrt{x^{2} - 1}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

ステップ 1.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 2

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

ステップ 3

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ を ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.3.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 4.2.1.4

簡約します。

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x^{2} - 1 \leq 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} \leq 1$

ステップ 5.2

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

ステップ 5.3

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{1}$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$| x | \leq 1$

ステップ 5.4

$| x | \leq 1$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 5.4.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 1$

ステップ 5.4.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 5.4.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 1$

ステップ 5.4.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

ステップ 5.5

$x \leq 1$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 1$

ステップ 5.6

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 1$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$- x \leq 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$- x \leq 1$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.6.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.6.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

ステップ 5.6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$x \geq - 1$

ステップ 5.6.2

$x \geq - 1$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 1 \leq x < 0$

ステップ 5.7

解の和集合を求めます。

$- 1 \leq x \leq 1$

ステップ 6

不等式を区間記号に変換します。

$[- 1, 1]$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例