微分積分学準備例

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ 、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ で三角形を描きます。

反対： $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

隣接： $\frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{5}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.4

$5$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- \frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.5.1

積の法則を $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

ステップ 2.5.2

積の法則を $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.5.3

積の法則を $2 \sqrt{5}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + 1 \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.6.2

$\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.7.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

ステップ 2.7.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

ステップ 2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.8.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

ステップ 2.8.2

$4$ に $5$ をかけます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

ステップ 2.8.3

$20$ と $25$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.3.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

ステップ 2.8.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.8.3.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

ステップ 2.8.3.2.2

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

ステップ 2.8.3.2.3

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

ステップ 2.8.4

式を簡約します。

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ステップ 2.8.4.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

ステップ 2.8.4.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

ステップ 2.8.4.3

$5$ を $5$ で割ります。

$\sqrt{1}$

ステップ 2.8.4.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$1$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{- \frac{2 \sqrt{5}}{5}}{1}$ 。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{5}}{5}}{1}$

ステップ 4

$- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ を $1$ で割ります。

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx - 0.89442719$

微分積分学準備 例

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