微分積分学準備例

$\frac{x}{x^{2} + 6 x - 7}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 6 x - 7$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $6$ です。

$- 1, 7$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x}{(x - 1) (x + 7)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 1) (x + 7)$ です。

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.5

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x - 1) (x + 7)}{(x - 1) (x + 7)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.6

$x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (x + 7)}{x + 7} = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A (x - 1) (x + 7)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x + 7)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (x + 7) + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x = A x + A \cdot 7 + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7.3

$7$ を $A$ の左に移動させます。

$x = A x + 7 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7.4

$x + 7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x = A x + 7 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 7)}{x + 7}$

ステップ 1.7.4.2

$(B) (x - 1)$ を $1$ で割ります。

$x = A x + 7 A + (B) (x - 1)$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$x = A x + 7 A + B x + B \cdot - 1$

ステップ 1.7.6

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$x = A x + 7 A + B x - 1 \cdot B$

ステップ 1.7.7

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$x = A x + 7 A + B x - B$

ステップ 1.8

$7 A$ を移動させます。

$x = A x + B x + 7 A - B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = 7 A - 1 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

$1 = A + B$

$0 = 7 A - 1 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$0 = 7 A - 1 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 A - 1 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$0 = 7 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$0 = 7 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$7 (1 - B) - 1 B$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = 7 \cdot 1 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$7$ に $1$ をかけます。

$0 = 7 + 7 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $7$ をかけます。

$0 = 7 - 7 B - 1 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 7 B - B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 7 B$ から $B$ を引きます。

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

$0 = 7 - 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$0 = 7 - 8 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $7 - 8 B = 0$ として書き換えます。

$7 - 8 B = 0$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- 8 B = - 7$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 8 B = - 7$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 8 B = - 7$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 7}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{7}{8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{7}{8}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{7}{8}$ で置き換えます。

$A = 1 - (\frac{7}{8})$

$B = \frac{7}{8}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$1 - (\frac{7}{8})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{8}{8} - \frac{7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

ステップ 3.4.2.1.2

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{8 - 7}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

ステップ 3.4.2.1.3

$8$ から $7$ を引きます。

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

$A = \frac{1}{8}$

$B = \frac{7}{8}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{1}{8}, B = \frac{7}{8}$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 7}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{\frac{1}{8}}{x - 1} + \frac{\frac{7}{8}}{x + 7}$

微分積分学準備 例

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