微分積分学準備例

$\frac{7 x + 3}{x^{3} - 2 x^{2} - 3 x}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x$ を $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 3 x}$

ステップ 1.1.1.2

$x$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 3 x}$

ステップ 1.1.1.3

$x$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$\frac{7 x + 3}{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 3}$

ステップ 1.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{7 x + 3}{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3}$

ステップ 1.1.1.5

$x$ を $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{7 x + 3}{x (x^{2} - 2 x - 3)}$

ステップ 1.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 1.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{7 x + 3}{x ((x - 3) (x + 1))}$

ステップ 1.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$\frac{7 x + 3}{x (x - 3) (x + 1)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $C$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $x (x - 3) (x + 1)$ です。

$\frac{(7 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.5

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(7 x + 3) (x (x - 3) (x + 1))}{x (x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(7 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.6

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(7 x + 3) ((x - 3) (x + 1))}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.6.2

式を書き換えます。

$\frac{(7 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.7

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{(7 x + 3) (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.7.2

$7 x + 3$ を $1$ で割ります。

$7 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1.1

共通因数を約分します。

$7 x + 3 = \frac{A (x (x - 3) (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.1.2

$A ((x - 3) (x + 1))$ を $1$ で割ります。

$7 x + 3 = A ((x - 3) (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.1

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A (x (x + 1) - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.2.2

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.2.3

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x + 3 = A (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.3.1.2

$x$ に $1$ をかけます。

$7 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.3.1.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$7 x + 3 = A (x^{2} + x - 3 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.3.2

$x$ から $3 x$ を引きます。

$7 x + 3 = A (x^{2} - 2 x - 3) + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.4

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A x^{2} + A (- 2 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.5.2

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.6

$x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.6.1

共通因数を約分します。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + \frac{B (x (x - 3) (x + 1))}{x - 3} + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.6.2

$(B) (x (x + 1))$ を $1$ で割ります。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + (B) (x (x + 1)) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.7

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.8

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x \cdot 1) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.9

$x$ に $1$ をかけます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B (x^{2} + x) + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.10

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{(C) (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.11

$x + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.11.1

共通因数を約分します。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + \frac{C (x (x - 3) (x + 1))}{x + 1}$

ステップ 1.8.11.2

$(C) (x (x - 3))$ を $1$ で割ります。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + (C) (x (x - 3))$

ステップ 1.8.12

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x \cdot x + x \cdot - 3)$

ステップ 1.8.13

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} + x \cdot - 3)$

ステップ 1.8.14

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C (x^{2} - 3 \cdot x)$

ステップ 1.8.15

分配則を当てはめます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} + C (- 3 x)$

ステップ 1.8.16

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 A x - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.9.1

$A$ を移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9.2

$B$ と $x^{2}$ を並べ替えます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9.3

$B$ と $x$ を並べ替えます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A - 3 A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x$

ステップ 1.9.4

$- 3 A$ を移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + B x + C x^{2} - 3 C x - 3 A$

ステップ 1.9.5

$B x$ を移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} - 2 x A + B x^{2} + C x^{2} + B x - 3 C x - 3 A$

ステップ 1.9.6

$- 2 x A$ を移動させます。

$7 x + 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - 2 x A + B x - 3 C x - 3 A$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x^{2}$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B + C$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 2.3

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$3 = - 3 A$

ステップ 2.4

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$3 = - 3 A$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$3 = - 3 A$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $- 3 A = 3$ として書き換えます。

$- 3 A = 3$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2

$- 3 A = 3$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 3 A = 3$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = \frac{3}{- 3}$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.1.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.3.1

$3$ を $- 3$ で割ります。

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$A = - 1$

$0 = A + B + C$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = A + B + C$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$0 = (- 1) + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = - 2 A + B - 3 C$

ステップ 3.2.3

$7 = - 2 A + B - 3 C$ の $A$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$7 = - 2 \cdot - 1 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$7 = 2 + B - 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.3

$7 = 2 + B - 3 C$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $2 + B - 3 C = 7$ として書き換えます。

$2 + B - 3 C = 7$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$B - 3 C = 7 - 2$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.3.2.2

方程式の両辺に $3 C$ を足します。

$B = 7 - 2 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.3.2.3

$7$ から $2$ を引きます。

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$0 = - 1 + B + C$

$A = - 1$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $5 + 3 C$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$0 = - 1 + B + C$ の $B$ のすべての発生を $5 + 3 C$ で置き換えます。

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.4.2

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

括弧を削除します。

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = - 1 + 5 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$- 1 + 5 + 3 C + C$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

$- 1$ と $5$ をたし算します。

$0 = 4 + 3 C + C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$3 C$ と $C$ をたし算します。

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$0 = 4 + 4 C$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5

$0 = 4 + 4 C$ の $C$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

方程式を $4 + 4 C = 0$ として書き換えます。

$4 + 4 C = 0$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$4 C = - 4$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5.3

$4 C = - 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$4 C = - 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 C}{4} = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5.3.2.1.2

$C$ を $1$ で割ります。

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = \frac{- 4}{4}$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.3.1

$- 4$ を $4$ で割ります。

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

$C = - 1$

$B = 5 + 3 C$

$A = - 1$

ステップ 3.6

各方程式の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

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ステップ 3.6.1

$B = 5 + 3 C$ の $C$ のすべての発生を $- 1$ で置き換えます。

$B = 5 + 3 (- 1)$

$C = - 1$

$A = - 1$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$5 + 3 (- 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$B = 5 - 3$

$C = - 1$

$A = - 1$

ステップ 3.6.2.1.2

$5$ から $3$ を引きます。

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

$B = 2$

$C = - 1$

$A = - 1$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$B = 2, C = - 1, A = - 1$

ステップ 4

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 3} + \frac{C}{x + 1}$ の各部分分数の係数を $A$ 、 $B$ 、および $C$ で求めた値で置き換えます。

$- \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 3} + \frac{- 1}{x + 1}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例