微分積分学準備例

$\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

ステップ 1

$2$ を $4 θ$ で因数分解します。

$\sin (2 (2 θ)) \cos (2 θ)$

ステップ 2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

ステップ 3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

ステップ 4

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$(4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 6

指数を足して $\cos (θ)$ に $\cos^{2} (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos^{2} (θ)$ を移動させます。

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 6.2

$\cos^{2} (θ)$ に $\cos (θ)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(4 \sin (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

ステップ 7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

ステップ 8

$2$ に $4$ をかけます。

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

ステップ 9

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 10

分配法則（FOIL法）を使って $(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 10.3

分配則を当てはめます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$8$ に $1$ をかけます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.2

指数を足して $\sin (θ)$ に $\sin^{2} (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

$\sin^{2} (θ)$ を移動させます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.2.2

$\sin^{2} (θ)$ に $\sin (θ)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.2.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.3

$- 2$ に $8$ をかけます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.1.5

指数を足して $\sin (θ)$ に $\sin^{2} (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.5.1

$\sin^{2} (θ)$ を移動させます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

ステップ 11.1.5.2

$\sin^{2} (θ)$ に $\sin (θ)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.5.2.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

ステップ 11.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2$

ステップ 11.1.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2$

ステップ 11.1.6

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

ステップ 11.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

ステップ 11.2.1.2

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

ステップ 11.2.1.3

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $- 4 \sin (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

ステップ 11.2.1.4

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.2.1.5

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ))$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.2.1.6

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.2.1.7

$4 \sin (θ) \cos (θ)$ を $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ))$

ステップ 11.2.2

$2 \sin^{2} (θ)$ を移動させます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 11.2.3

$2$ を $2 \cos^{2} (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 11.2.4

$2$ を $2 \sin^{2} (θ)$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 11.2.5

$2$ を $2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ))$ で因数分解します。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 13

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 14

両辺を掛けて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$2$ に $1$ をかけます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

ステップ 14.2

$2$ から $1$ を引きます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) + 1)$

ステップ 14.3

分配則を当てはめます。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

ステップ 15

指数を足して $\sin (θ)$ に $\sin^{2} (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$\sin^{2} (θ)$ を移動させます。

$4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

ステップ 15.2

$\sin^{2} (θ)$ に $\sin (θ)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

ステップ 15.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

ステップ 15.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

ステップ 16

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 17

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

指数を足して $\cos (θ)$ に $\cos^{2} (θ)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$\cos^{2} (θ)$ を移動させます。

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 17.1.2

$\cos^{2} (θ)$ に $\cos (θ)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.2.1

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 17.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin^{3} (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 17.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 17.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

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