微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ , $x = y^{2}$

ステップ 1

各方程式の $x$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ の $x$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

ステップ 1.2

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{2 \cdot 2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

ステップ 1.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

ステップ 1.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$4$ に $y^{2}$ をかけます。

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

ステップ 2

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$ の $y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$y$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

方程式の両辺から $4 y^{2}$ を引きます。

$y^{4} + y^{2} - 4 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.1.2

$y^{2}$ から $4 y^{2}$ を引きます。

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$y^{4}$ を ${(y^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(y^{2})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2.2

$u = y^{2}$ とします。 $u$ を $y^{2}$ に代入します。

$u^{2} - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2.3

$u$ を $u^{2} - 3 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2.3.2

$u$ を $- 3 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot - 3$ で因数分解します。

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.4

$y^{2}$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$y^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.4.2

$y$ について $y^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5

$y^{2} - 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$y^{2} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5.2

$y$ について $y^{2} - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y^{2} = 3$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

ステップ 2.6

最終解は $y^{2} (y^{2} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

ステップ 3

各方程式の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = y^{2}$ の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

ステップ 4

各方程式の $y$ のすべての発生を $\sqrt{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = y^{2}$ の $y$ のすべての発生を $\sqrt{3}$ で置き換えます。

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 4.2.1.5

指数を求めます。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 5

各方程式の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x = y^{2}$ の $y$ のすべての発生を $0$ で置き換えます。

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

ステップ 6

各方程式の $y$ のすべての発生を $\sqrt{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x = y^{2}$ の $y$ のすべての発生を $\sqrt{3}$ で置き換えます。

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.1.5

指数を求めます。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

ステップ 7

各方程式の $y$ のすべての発生を $- \sqrt{3}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x = y^{2}$ の $y$ のすべての発生を $- \sqrt{3}$ で置き換えます。

$x = {(- \sqrt{3})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

${(- \sqrt{3})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \sqrt{3}$ に当てはめます。

$x = {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = 1 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2.4.2

式を書き換えます。

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 7.2.1.2.5

指数を求めます。

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

ステップ 8

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(0, 0)$

$(3, \sqrt{3})$

$(3, - \sqrt{3})$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

点の形：

$(0, 0), (3, \sqrt{3}), (3, - \sqrt{3})$

方程式の形：

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = \sqrt{3}$

$x = 3, y = - \sqrt{3}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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