微分積分学準備例

$f (x) = {(x^{\frac{2}{3}} - 1)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}} - 1$ で置き換えます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} - 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{\frac{2}{3}} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7.2

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + 0)$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 (x^{\frac{2}{3}} - 1) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 9.2

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

ステップ 9.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} - 1)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.3

指数を足して $x^{\frac{2}{3}}$ に $x^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 10.2.3.1

$x^{- \frac{1}{3}}$ を移動させます。

$\frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{- 1 + 2}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.3.4

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$

ステップ 10.2.4

$\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 10.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例