微分積分学準備例

$y^{2} - 4 x + 6 y + 29 = 0$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.1.1.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$- 4 x + 6 y + 29 = - y^{2}$

ステップ 1.1.1.2

方程式の両辺から $6 y$ を引きます。

$- 4 x + 29 = - y^{2} - 6 y$

ステップ 1.1.1.3

方程式の両辺から $29$ を引きます。

$- 4 x = - y^{2} - 6 y - 29$

ステップ 1.1.2

$- 4 x = - y^{2} - 6 y - 29$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 4 x = - y^{2} - 6 y - 29$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 6 y}{- 4} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 6 y}{- 4} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{- 6 y}{- 4} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 6 y}{- 4} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$- 6$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$- 2$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 y)}{- 4} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.2.1

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 (2)} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 y)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + \frac{- 29}{- 4}$

ステップ 1.1.2.3.1.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + \frac{29}{4}$

ステップ 1.2

$\frac{y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + \frac{29}{4}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{29}{4}$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.3.2.2

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.2.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.2.3.2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

ステップ 1.2.3.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.5.1

$2$ を $1 \cdot 2$ で因数分解します。

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.5.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

ステップ 1.2.3.2.5.3

式を書き換えます。

$d = 3$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = \frac{29}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$e = \frac{29}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{29}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$e = \frac{29}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$e = \frac{29}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ を $4$ で割ります。

$e = \frac{29}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$\frac{9}{4}$ を $1$ で割ります。

$e = \frac{29}{4} - \frac{9}{4}$

ステップ 1.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{29 - 9}{4}$

ステップ 1.2.4.2.3

$29$ から $9$ を引きます。

$e = \frac{20}{4}$

ステップ 1.2.4.2.4

$20$ を $4$ で割ります。

$e = 5$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{1}{4} {(y + 3)}^{2} + 5$ に代入します。

$\frac{1}{4} {(y + 3)}^{2} + 5$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y + 3)}^{2} + 5$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{1}{4}$

$h = 5$

$k = - 3$

ステップ 3

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(5, - 3)$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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