微分積分学準備例

$9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 9 \cdot 144 = 1296$ で和が $b = - 97$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$- 97$ を $- 97 u$ で因数分解します。

$9 u^{2} - 97 u + 144 = 0$

ステップ 2.1.2

$- 97$ を $- 16$ プラス $- 81$ に書き換える

$9 u^{2} + (- 16 - 81) u + 144 = 0$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$9 u^{2} - 16 u - 81 u + 144 = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(9 u^{2} - 16 u) - 81 u + 144 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (9 u - 16) - 9 (9 u - 16) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $9 u - 16$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(9 u - 16) (u - 9) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$9 u - 16 = 0$

$u - 9 = 0$

ステップ 4

$9 u - 16$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.1

$9 u - 16$ が $0$ に等しいとします。

$9 u - 16 = 0$

ステップ 4.2

$u$ について $9 u - 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$9 u = 16$

ステップ 4.2.2

$9 u = 16$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$9 u = 16$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 u}{9} = \frac{16}{9}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{16}{9}$

ステップ 5

$u - 9$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.1

$u - 9$ が $0$ に等しいとします。

$u - 9 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$u = 9$

ステップ 6

最終解は $(9 u - 16) (u - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{16}{9}, 9$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{16}{9}$

${(x^{2})}^{1} = 9$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{16}{9}$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{9}}$

ステップ 9.2

$\pm \sqrt{\frac{16}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\sqrt{\frac{16}{9}}$ を $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{9}}$

ステップ 9.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 9.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{9}}$

ステップ 9.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 9.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{4}{3}$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 9$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 9$

ステップ 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 11.3

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 11.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 12

$9 x^{4} - 97 x^{2} + 144 = 0$ の解は $x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$ です。

$x = \frac{4}{3}, - \frac{4}{3}, 3, - 3$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < x < 3$

$x > 3$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 14.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$9 {(- 6)}^{4} - 97 {(- 6)}^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $8316$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.2

区間 $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.2.1

区間 $- 3 < x < - \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$9 {(- 2)}^{4} - 97 {(- 2)}^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $- 100$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.3

区間 $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.3.1

区間 $- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$9 {(0)}^{4} - 97 {(0)}^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $144$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.4

区間 $\frac{4}{3} < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.4.1

区間 $\frac{4}{3} < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$9 {(2)}^{4} - 97 {(2)}^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $- 100$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.5

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.5.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 14.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$9 {(6)}^{4} - 97 {(6)}^{2} + 144 \leq 0$

ステップ 14.5.3

左辺 $8316$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ 真

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ 偽

$\frac{4}{3} < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - \frac{4}{3}$ 真

$- \frac{4}{3} < x < \frac{4}{3}$ 偽

$\frac{4}{3} < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq - \frac{4}{3}$ または $\frac{4}{3} \leq x \leq 3$

ステップ 16

不等式を区間記号に変換します。

$[- 3, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{4}{3}, 3]$

ステップ 17

微分積分学準備 例

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