微分積分学準備例

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$

ステップ 2

$x^{2} - 3 x$ の平方完成。

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ステップ 2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

ステップ 2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{3}{2}$

ステップ 2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

ステップ 2.4.2.2

$0$ から $\frac{9}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{9}{4}$

ステップ 2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 3

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$ の中の $x^{2} - 3 x$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 5 y = 2$

ステップ 4

両辺に $\frac{9}{4}$ を加えて、 $- \frac{9}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 5 y = 2 + \frac{9}{4}$

ステップ 5

$y^{2} + 5 y$ の平方完成。

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ステップ 5.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 1$

$b = 5$

$c = 0$

ステップ 5.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 5.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{5}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$d = \frac{5}{2}$

ステップ 5.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 5.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$e = 0 - \frac{25}{4}$

ステップ 5.4.2.2

$0$ から $\frac{25}{4}$ を引きます。

$e = - \frac{25}{4}$

ステップ 5.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 ${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ に代入します。

${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

ステップ 6

${(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ を方程式 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 5 y = 2$ の中の $y^{2} + 5 y$ に代入します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} = 2 + \frac{9}{4}$

ステップ 7

両辺に $\frac{25}{4}$ を加えて、 $- \frac{25}{4}$ を方程式の右辺に移動させます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$

ステップ 8

$2 + \frac{9}{4} + \frac{25}{4}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{9 + 25}{4}$

ステップ 8.2

$9$ と $25$ をたし算します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{34}{4}$

ステップ 8.3

$34$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.1

$2$ を $34$ で因数分解します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 (17)}{4}$

ステップ 8.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{2 \cdot 17}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.3

式を書き換えます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + \frac{17}{2}$

ステップ 8.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{17}{2}$

ステップ 8.5

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{17}{2}$

ステップ 8.6

公分母の分子をまとめます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{2 \cdot 2 + 17}{2}$

ステップ 8.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.7.1

$2$ に $2$ をかけます。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{4 + 17}{2}$

ステップ 8.7.2

$4$ と $17$ をたし算します。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{21}{2}$

ステップ 9

円の形です。この形を利用して円の中心と半径を決定します。

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

ステップ 10

この円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $r$ は円の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$r = \frac{\sqrt{42}}{2}$

$h = \frac{3}{2}$

$k = - \frac{5}{2}$

ステップ 11

円の中心は $(h, k)$ で求められます。

中心： $(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

ステップ 12

これらの値は円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(\frac{3}{2}, - \frac{5}{2})$

半径： $\frac{\sqrt{42}}{2}$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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