微分積分学準備例

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

ステップ 1

$\ln (r^{7} s^{8} \sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ を $\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$ に書き換えます。

$\ln (r^{7} s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

ステップ 2

$\ln (r^{7} s^{8})$ を $\ln (r^{7}) + \ln (s^{8})$ に書き換えます。

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln (\sqrt[7]{r^{4} s^{9}})$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[7]{r^{4} s^{9}}$ を ${(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}}$ に書き換えます。

$\ln (r^{7}) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

ステップ 4

$7$ を対数の外に移動させて、 $\ln (r^{7})$ を展開します。

$7 \ln (r) + \ln (s^{8}) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

ステップ 5

$8$ を対数の外に移動させて、 $\ln (s^{8})$ を展開します。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$

ステップ 6

$\frac{1}{7}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(r^{4} s^{9})}^{\frac{1}{7}})$ を展開します。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} \ln (r^{4} s^{9})$

ステップ 7

$\ln (r^{4} s^{9})$ を $\ln (r^{4}) + \ln (s^{9})$ に書き換えます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (\ln (r^{4}) + \ln (s^{9}))$

ステップ 8

$4$ を対数の外に移動させて、 $\ln (r^{4})$ を展開します。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + \ln (s^{9}))$

ステップ 9

$9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (s^{9})$ を展開します。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r) + 9 \ln (s))$

ステップ 10

各項を簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{1}{7} (4 \ln (r)) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

ステップ 10.2

$\frac{1}{7} (4 \ln (r))$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1

$4$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4}{7} \ln (r) + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

ステップ 10.2.2

$\frac{4}{7}$ と $\ln (r)$ をまとめます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{1}{7} (9 \ln (s))$

ステップ 10.3

$\frac{1}{7} (9 \ln (s))$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1

$9$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9}{7} \ln (s)$

ステップ 10.3.2

$\frac{9}{7}$ と $\ln (s)$ をまとめます。

$7 \ln (r) + 8 \ln (s) + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 11

$7 \ln (r)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$8 \ln (s) + 7 \ln (r) \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 12

$7 \ln (r)$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7}{7} + \frac{4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 13

公分母の分子をまとめます。

$8 \ln (s) + \frac{7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14

各項を簡約します。

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ステップ 14.1

分子を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$\ln (r)$ を $7 \ln (r) \cdot 7 + 4 \ln (r)$ で因数分解します。

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ステップ 14.1.1.1

$\ln (r)$ を $7 \ln (r) \cdot 7$ で因数分解します。

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + 4 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14.1.1.2

$\ln (r)$ を $4 \ln (r)$ で因数分解します。

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14.1.1.3

$\ln (r)$ を $\ln (r) (7 \cdot 7) + \ln (r) \cdot 4$ で因数分解します。

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (7 \cdot 7 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14.1.2

$7$ に $7$ をかけます。

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) (49 + 4)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14.1.3

$49$ と $4$ をたし算します。

$8 \ln (s) + \frac{\ln (r) \cdot 53}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 14.2

$53$ を $\ln (r)$ の左に移動させます。

$8 \ln (s) + \frac{53 \ln (r)}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7}$

ステップ 15

$8 \ln (s)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$8 \ln (s) \cdot \frac{7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

ステップ 16

$8 \ln (s)$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7}{7} + \frac{9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

ステップ 17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s)}{7} + \frac{53 \ln (r)}{7}$

ステップ 18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 \ln (s) \cdot 7 + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

ステップ 19

分子を簡約します。

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ステップ 19.1

$7$ に $8$ をかけます。

$\frac{56 \ln (s) + 9 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

ステップ 19.2

$56 \ln (s)$ と $9 \ln (s)$ をたし算します。

$\frac{65 \ln (s) + 53 \ln (r)}{7}$

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