微分積分学準備例

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

ステップ 1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

ステップ 3

対数の中の $3$ を移動させて $- 3 \log_{5} (10)$ を簡約します。

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

ステップ 4

$10$ を $3$ 乗します。

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

ステップ 5

底の変換の公式を利用して $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ を書き換えます。

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ステップ 5.1

$a$ と $b$ が $0$ より大きく $1$ に等しくない場合、および $x$ が $0$ より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

ステップ 5.2

$b = 10$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

底の変換の公式を利用して $\log_{5} (10)$ を書き換えます。

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ステップ 6.1.1.1

$a$ と $b$ が $0$ より大きく $1$ に等しくない場合、および $x$ が $0$ より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

ステップ 6.1.1.2

$b = 10$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

ステップ 6.1.2

$10$ の対数の底 $10$ は $1$ です。

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

ステップ 6.1.3

$x$ と $\frac{1}{\log (5)}$ をまとめます。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

ステップ 6.1.4

底の変換の公式を利用して $\log_{5} (1000)$ を書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$a$ と $b$ が $0$ より大きく $1$ に等しくない場合、および $x$ が $0$ より大きい場合、底の変換の法則を使用することができます。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.4.2

$b = 10$ を使用して、基数変更の公式の変数の値に代入します。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.5

$1000$ の対数の底 $10$ は $3$ です。

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ステップ 6.1.5.1

方程式として書き換えます。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.5.2

対数の定義を利用して $\log (1000) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ が $1$ に等しくなければ、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.5.3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.5.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.1.5.5

変数 $x$ は $3$ に等しいです。

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

ステップ 6.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例