微分積分学準備例

$(4, \frac{7 π}{12})$

ステップ 1

変換式を利用して極座標を直交座標に変換します。

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

ステップ 2

$r = 4$ と $θ = \frac{7 π}{12}$ の既知数を公式に代入します。

$x = (4) \cos (\frac{7 π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3

$\cos (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 3.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$x = 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$x = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.4

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.6

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.6.1

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.7

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 3.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 3.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = 4 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 4.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 2 (2) (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 4.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}))$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 4.4

式を書き換えます。

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

ステップ 6

$\sin (\frac{7 π}{12})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 6.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{12}$ を書き直します。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

ステップ 6.2

制限半角の公式を当てはめます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

ステップ 6.3

正弦が第二象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

ステップ 6.4

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

ステップ 6.4.2

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 6.4.3

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}}$

ステップ 6.4.3.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $1$ をかけます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 6.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 6.4.5

公分母の分子をまとめます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 6.4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 6.4.7

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.7.1

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 6.4.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

ステップ 6.4.8

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

ステップ 6.4.9

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.9.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

ステップ 6.4.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

ステップ 7

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 (2) (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}))$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

ステップ 8

極点 $(4, \frac{7 π}{12})$ の直方体表現は $(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ です。

$(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$

微分積分学準備 例

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