微分積分学準備例

$\frac{y^{2}}{30} - \frac{x^{2}}{51} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y^{2}}{30} - \frac{x^{2}}{51} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{30}$

$b = \sqrt{51}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{30^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{30^{1} + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{30 + {(\sqrt{51})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{51}}^{2}$ を $51$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{51}$ を $51^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{30 + {(51^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{30 + 51^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{30 + 51^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{30 + 51^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{30 + 51^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{30 + 51}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$30$ と $51$ をたし算します。

$\sqrt{81}$

ステップ 5.3.3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{9^{2}}$

ステップ 5.3.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$9$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, \sqrt{30})$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $k$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h, k - a)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - \sqrt{30})$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h, k \pm a)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(0, \sqrt{30}), (0, - \sqrt{30})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, 9)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - 9)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(0, 9), (0, - 9)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{30})}^{2} + {(\sqrt{51})}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{30^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{30^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{30^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{30^{1} + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{30 + {\sqrt{51}}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{51}}^{2}$ を $51$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{51}$ を $51^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{30 + {(51^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{30 + 51^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{30 + 51^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{30 + 51^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{30 + 51^{1}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{30 + 51}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.3

$30$ と $51$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.4

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{9^{2}}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{9}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{9}{\sqrt{30}}$ に $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ をかけます。

$\frac{9}{\sqrt{30}} \cdot \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\frac{9}{\sqrt{30}}$ に $\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{30}}$ をかけます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{\sqrt{30} \sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.2

$\sqrt{30}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1} \sqrt{30}}$

ステップ 8.3.3.3

$\sqrt{30}$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1} {\sqrt{30}}^{1}}$

ステップ 8.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{9 \sqrt{30}}{{\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{{(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{9 \sqrt{30}}{30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sqrt{30}}{30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{30^{1}}$

ステップ 8.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{9 \sqrt{30}}{30}$

ステップ 8.3.4

$9$ と $30$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

$3$ を $9 \sqrt{30}$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 \sqrt{30})}{30}$

ステップ 8.3.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.2.1

$3$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 \sqrt{30})}{3 (10)}$

ステップ 8.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 \sqrt{30})}{3 \cdot 10}$

ステップ 8.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{51}}^{2}}{9}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{51}}^{2}$ を $51$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{51}$ を $51^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(51^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{51^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{51^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{51^{\frac{2}{2}}}{9}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{51^{1}}{9}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{51}{9}$

ステップ 9.3.2

$51$ と $9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$3$ を $51$ で因数分解します。

$\frac{3 (17)}{9}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 17}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 17}{3 \cdot 3}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{17}{3}$

ステップ 10

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{\sqrt{170}}{17} x + 0$

ステップ 11

$\frac{\sqrt{170}}{17} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{\sqrt{170}}{17} x$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt{170}}{17} x$

ステップ 11.2

$\frac{\sqrt{170}}{17}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt{170} x}{17}$

ステップ 12

$- \frac{\sqrt{170}}{17} x + 0$ を簡約します。

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ステップ 12.1

$- \frac{\sqrt{170}}{17} x$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{\sqrt{170}}{17} x$

ステップ 12.2

$x$ と $\frac{\sqrt{170}}{17}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \sqrt{170}}{17}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{\sqrt{170} x}{17}, y = - \frac{x \sqrt{170}}{17}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

頂点： $(0, \sqrt{30}), (0, - \sqrt{30})$

焦点： $(0, 9), (0, - 9)$

偏心： $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

焦点のパラメータ： $\frac{17}{3}$

漸近線： $y = \frac{\sqrt{170} x}{17}$ 、 $y = - \frac{x \sqrt{170}}{17}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例