微分積分学準備例

$64 x^{2} + 36 y^{2} = 100$

ステップ 1

楕円の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

各項を $100$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{64 x^{2}}{100} + \frac{36 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

ステップ 1.2

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{x^{2}}{\frac{25}{16}} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{9}} = 1$

ステップ 2

楕円の形です。この形を利用して、楕円の長軸と短軸、および中心を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

ステップ 3

この楕円の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $a$ は楕円の長軸の半径を、 $b$ は楕円の短軸の半径を、 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点からのy補正値を表します。

$a = \frac{5}{3}$

$b = \frac{5}{4}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

楕円の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して楕円の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} - {(\frac{5}{4})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{3^{2}} - {(\frac{5}{4})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{3^{2}} - {(\frac{5}{4})}^{2}}$

ステップ 5.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - {(\frac{5}{4})}^{2}}$

ステップ 5.3.4

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{5^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 5.3.5

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{25}{4^{2}}}$

ステップ 5.3.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{25}{16}}$

ステップ 5.3.7

$\frac{25}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{25}{16}}$

ステップ 5.3.8

$- \frac{25}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

ステップ 5.3.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $144$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.3.9.1

$\frac{25}{9}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{9 \cdot 16} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

ステップ 5.3.9.2

$9$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}}$

ステップ 5.3.9.3

$\frac{25}{16}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25 \cdot 9}{16 \cdot 9}}$

ステップ 5.3.9.4

$16$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25 \cdot 9}{144}}$

ステップ 5.3.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16 - 25 \cdot 9}{144}}$

ステップ 5.3.11

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.11.1

$25$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{400 - 25 \cdot 9}{144}}$

ステップ 5.3.11.2

$- 25$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{400 - 225}{144}}$

ステップ 5.3.11.3

$400$ から $225$ を引きます。

$\sqrt{\frac{175}{144}}$

ステップ 5.3.12

$\sqrt{\frac{175}{144}}$ を $\frac{\sqrt{175}}{\sqrt{144}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{175}}{\sqrt{144}}$

ステップ 5.3.13

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.13.1

$175$ を $5^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.13.1.1

$25$ を $175$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (7)}}{\sqrt{144}}$

ステップ 5.3.13.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 7}}{\sqrt{144}}$

ステップ 5.3.13.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{144}}$

ステップ 5.3.14

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.14.1

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}}$

ステップ 5.3.14.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{7}}{12}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

楕円の1番目の頂点は、 $a$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + a)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \frac{5}{3})$

ステップ 6.3

簡約します。

$(0, \frac{5}{3})$

ステップ 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

ステップ 6.5

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\frac{5}{3}))$

ステップ 6.6

簡約します。

$(0, - \frac{5}{3})$

ステップ 6.7

楕円には2つの頂点があります。

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{5}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{5}{3})$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{5}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{5}{3})$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

楕円の1番目の焦点は、 $c$ を $k$ に加えることで求められます。

$(h, k + c)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 + \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

ステップ 7.3

簡約します。

$(0, \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

ステップ 7.4

楕円の1番目の焦点は、 $k$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h, k - c)$

ステップ 7.5

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入します。

$(0, 0 - (\frac{5 \sqrt{7}}{12}))$

ステップ 7.6

簡約します。

$(0, - \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

ステップ 7.7

楕円には2つの焦点があります。

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} - {(\frac{5}{4})}^{2}}}{\frac{5}{3}}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{5}{3})}^{2} - {(\frac{5}{4})}^{2}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.2

積の法則を $\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{3^{2}} - {(\frac{5}{4})}^{2}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.3

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{3^{2}} - {(\frac{5}{4})}^{2}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.4

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - {(\frac{5}{4})}^{2}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.5

積の法則を $\frac{5}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{5^{2}}{4^{2}}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.6

$5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{25}{4^{2}}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.7

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{25}{9} - \frac{25}{16}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.8

$\frac{25}{9}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{25}{16}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.9

$- \frac{25}{16}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{16}{16} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $144$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.3.10.1

$\frac{25}{9}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{9 \cdot 16} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.10.2

$9$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25}{16} \cdot \frac{9}{9}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.10.3

$\frac{25}{16}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25 \cdot 9}{16 \cdot 9}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.10.4

$16$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{144} - \frac{25 \cdot 9}{144}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16 - 25 \cdot 9}{144}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.12

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.12.1

$25$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{400 - 25 \cdot 9}{144}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.12.2

$- 25$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{400 - 225}{144}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.12.3

$400$ から $225$ を引きます。

$\sqrt{\frac{175}{144}} \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.13

$\sqrt{\frac{175}{144}}$ を $\frac{\sqrt{175}}{\sqrt{144}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{175}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.14

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.14.1

$175$ を $5^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 8.3.14.1.1

$25$ を $175$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (7)}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.14.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 7}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.14.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{144}} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.15

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.15.1

$144$ を $12^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{7}}{\sqrt{12^{2}}} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.15.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{7}}{12} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.16

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 8.3.16.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.16.1.1

$5$ を $5 \sqrt{7}$ で因数分解します。

$\frac{5 (\sqrt{7})}{12} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.16.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{7}}{12} \cdot \frac{3}{5}$

ステップ 8.3.16.1.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{12} \cdot 3$

ステップ 8.3.16.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.16.2.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{7}}{3 (4)} \cdot 3$

ステップ 8.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{7}}{3 \cdot 4} \cdot 3$

ステップ 8.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

ステップ 9

これらの値は楕円をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, \frac{5}{3})$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - \frac{5}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{5 \sqrt{7}}{12})$

偏心： $\frac{\sqrt{7}}{4}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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