微分積分学準備例

$5 y^{2} = 16 x$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $x$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

方程式を $16 x = 5 y^{2}$ として書き換えます。

$16 x = 5 y^{2}$

ステップ 1.1.2

$16 x = 5 y^{2}$ の各項を $16$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$16 x = 5 y^{2}$ の各項を $16$ で割ります。

$\frac{16 x}{16} = \frac{5 y^{2}}{16}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{16 x}{16} = \frac{5 y^{2}}{16}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{5 y^{2}}{16}$

ステップ 1.2

$\frac{5 y^{2}}{16}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = \frac{5}{16}$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (\frac{5}{16})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{5}{16})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{5}{16})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{\frac{5}{16}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 (\frac{16}{5})$

ステップ 1.2.3.2.3

$0$ に $\frac{16}{5}$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{5}{16})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{5}{16})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$4$ と $\frac{5}{16}$ をまとめます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{16}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{20}{16}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

$20$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (5)}{16}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.4.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{5}{4}}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (0 (\frac{4}{5}))$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$0$ に $\frac{4}{5}$ をかけます。

$e = 0 - 0$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $\frac{5}{16} y^{2}$ に代入します。

$\frac{5}{16} y^{2}$

ステップ 1.3

$x$ は新しい右辺と等しいとします。

$x = \frac{5}{16} y^{2}$

ステップ 2

頂点形、 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{5}{16}$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は右に開です。

右に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{5}{16}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{5}{16}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{16}}$

ステップ 5.3.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{20}{16}}$

ステップ 5.3.2.2

$20$ と $16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 (5)}{16}}$

ステップ 5.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}}$

ステップ 5.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 4}}$

ステップ 5.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{5}{4}}$

ステップ 5.3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 (\frac{4}{5})$

ステップ 5.3.4

$\frac{4}{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{5}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が左右に開の場合、 $p$ をx座標 $h$ に加えて求められます。

$(h + p, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{4}{5}, 0)$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$y = 0$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が左右に開の場合、頂点のx座標 $h$ から $p$ を引いて求められる垂直線です。

$x = h - p$

ステップ 8.2

$p$ と $h$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$x = - \frac{4}{5}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：右に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(\frac{4}{5}, 0)$

対称軸： $y = 0$

準線： $x = - \frac{4}{5}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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