微分積分学準備例

$10 x^{2} = - 6 y$

ステップ 1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1.1

方程式を $- 6 y = 10 x^{2}$ として書き換えます。

$- 6 y = 10 x^{2}$

ステップ 1.1.2

$- 6 y = 10 x^{2}$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6 y = 10 x^{2}$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{10 x^{2}}{- 6}$

ステップ 1.1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 y}{- 6} = \frac{10 x^{2}}{- 6}$

ステップ 1.1.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{10 x^{2}}{- 6}$

ステップ 1.1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$10$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.1

$2$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{- 6}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.3.1.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 (- 3)}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot - 3}$

ステップ 1.1.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{5 x^{2}}{- 3}$

ステップ 1.1.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{5 x^{2}}{3}$

ステップ 1.2

$- \frac{5 x^{2}}{3}$ の平方完成。

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ステップ 1.2.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - \frac{5}{3}$

$b = 0$

$c = 0$

ステップ 1.2.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.2.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{0}{2 (- \frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$d = \frac{0}{- \frac{5}{3}}$

ステップ 1.2.3.2.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$d = 0 (- \frac{3}{5})$

ステップ 1.2.3.2.3

$0 (- \frac{3}{5})$ を掛けます。

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ステップ 1.2.3.2.3.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$d = 0 (\frac{3}{5})$

ステップ 1.2.3.2.3.2

$0$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$d = 0$

ステップ 1.2.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.2.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{5}{3})}$

ステップ 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 5}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

$- 4$ に $5$ をかけます。

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 20}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{20}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$e = 0 - (0 (- \frac{3}{20}))$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$0 (- \frac{3}{20})$ を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.6.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 - (0 (\frac{3}{20}))$

ステップ 1.2.4.2.1.6.2

$0$ に $\frac{3}{20}$ をかけます。

$e = 0 - 0$

ステップ 1.2.4.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$e = 0 + 0$

ステップ 1.2.4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$e = 0$

ステップ 1.2.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- \frac{5}{3} x^{2}$ に代入します。

$- \frac{5}{3} x^{2}$

ステップ 1.3

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - \frac{5}{3} x^{2}$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - \frac{5}{3}$

$h = 0$

$k = 0$

ステップ 3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(0, 0)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{5}{3})}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{5}{3})}$

ステップ 5.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{4 (\frac{5}{3})}$

ステップ 5.3.2

$4$ と $\frac{5}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{3}}$

ステップ 5.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{\frac{20}{3}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 (\frac{3}{20}))$

ステップ 5.3.5

$\frac{3}{20}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3}{20}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(0, - \frac{3}{20})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = 0$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{3}{20}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(0, 0)$

焦点： $(0, - \frac{3}{20})$

対称軸： $x = 0$

準線： $y = \frac{3}{20}$

ステップ 10

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