微分積分学準備例

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81} = 1$

ステップ 1

方程式の左辺に $y$ を取り出します。

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ステップ 1.1

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} = 1$

ステップ 1.1.2

$- \frac{y + 4}{81}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

ステップ 1.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $324$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.1.3.1

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

ステップ 1.1.3.2

$36$ に $9$ をかけます。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

ステップ 1.1.3.3

$\frac{y + 4}{81}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{81 \cdot 4} = 1$

ステップ 1.1.3.4

$81$ に $4$ をかけます。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9 - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.5.1

$9$ を ${(x + 4)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{9 \cdot {(x + 4)}^{2} - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 4) \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - y \cdot 4 - 4 \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5.5

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 4 \cdot 4}{324} = 1$

ステップ 1.1.5.6

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} = 1$

ステップ 1.2

両辺に $324$ を掛けます。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$324$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

ステップ 1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 1 \cdot 324$

ステップ 1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$324$ に $1$ をかけます。

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 324$

ステップ 1.4

$y$ について解きます。

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ステップ 1.4.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.4.1.1

方程式の両辺から $9 {(x + 4)}^{2}$ を引きます。

$- 4 y - 16 = 324 - 9 {(x + 4)}^{2}$

ステップ 1.4.1.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$- 4 y = 324 - 9 {(x + 4)}^{2} + 16$

ステップ 1.4.1.3

$324$ と $16$ をたし算します。

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$

ステップ 1.4.2

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

ステップ 1.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

ステップ 1.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.3.1.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} + \frac{340}{- 4}$

ステップ 1.4.2.3.1.2

$340$ を $- 4$ で割ります。

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} - 85$

ステップ 1.5

項を並べ替えます。

$y = \frac{9}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 85$

ステップ 2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = \frac{9}{4}$

$h = - 4$

$k = - 85$

ステップ 3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- 4, - 85)$

ステップ 5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{9}{4}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ と $\frac{9}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{4}}$

ステップ 5.3.2

式を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$4$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{36}{4}}$

ステップ 5.3.2.2

$36$ を $4$ で割ります。

$\frac{1}{9}$

ステップ 6

焦点を求めます。

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ステップ 6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 4, - \frac{764}{9})$

ステップ 7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - 4$

ステップ 8

準線を求めます。

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ステップ 8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{766}{9}$

ステップ 9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- 4, - 85)$

焦点： $(- 4, - \frac{764}{9})$

対称軸： $x = - 4$

準線： $y = - \frac{766}{9}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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