微分積分学準備例

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 2$

$b = \frac{1}{2}$

$k = - 1$

$h = - 3$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 3, - 1)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}$

ステップ 5.3.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{4 + \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.5

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.6

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}$

ステップ 5.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}$

ステップ 5.3.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.8.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}$

ステップ 5.3.8.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{17}{4}}$

ステップ 5.3.9

$\sqrt{\frac{17}{4}}$ を $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.3.10

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.3.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 1, - 1)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, - 1)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(- 1, - 1), (- 5, - 1)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 3 + \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 3 - \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(- 3 + \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1), (- 3 - \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + {(\frac{1}{2})}^{2}}}{2}$

ステップ 8.3.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{2^{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.5

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.6

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sqrt{\frac{4 \cdot 4 + 1}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.8.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\sqrt{\frac{16 + 1}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.8.2

$16$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{\frac{17}{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.9

$\sqrt{\frac{17}{4}}$ を $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{4}}}{2}$

ステップ 8.3.1.10

分母を簡約します。

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ステップ 8.3.1.10.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}$

ステップ 8.3.1.10.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{2}$

ステップ 8.3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.3

$\frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\frac{\sqrt{17}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\sqrt{17}}{4}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}}}{2}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2^{2}}}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.3.2

まとめる。

$\frac{\frac{1}{2^{2}} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

ステップ 9.3.3

式を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\sqrt{17} \cdot 2}$

ステップ 9.3.3.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{17} \cdot 2}$

ステップ 9.3.3.3

$2$ を $\sqrt{17}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{1}{4}}{2 \sqrt{17}}$

ステップ 9.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{17}}$

ステップ 9.3.5

$\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ に $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2 \sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

ステップ 9.3.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.6.1

$\frac{1}{2 \sqrt{17}}$ に $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \sqrt{17} \sqrt{17}}$

ステップ 9.3.6.2

$\sqrt{17}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 (\sqrt{17} \sqrt{17})}$

ステップ 9.3.6.3

$\sqrt{17}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17})}$

ステップ 9.3.6.4

$\sqrt{17}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 ({\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1})}$

ステップ 9.3.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {\sqrt{17}}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7

${\sqrt{17}}^{2}$ を $17$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.6.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{17}$ を $17^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.6.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.6.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.6.7.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17^{1}}$

ステップ 9.3.6.7.5

指数を求めます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

ステップ 9.3.7

$2$ に $17$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$

ステップ 9.3.8

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{17}}{34}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{\sqrt{17}}{34}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{17}}{4 \cdot 34}$

ステップ 9.3.8.2

$4$ に $34$ をかけます。

$\frac{\sqrt{17}}{136}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{1}{4} \cdot (x - (- 3)) - 1$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{1}{4} \cdot (x - (- 3)) - 1$

ステップ 11.2

$\frac{1}{4} \cdot (x - (- 3)) - 1$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{1}{4} \cdot (x + 3) - 1$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot 3 - 1$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 - 1$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{1}{4}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4} - 1$

ステップ 11.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 11.2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{3 - 4}{4}$

ステップ 11.2.5.2

$3$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 1}{4}$

ステップ 11.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x - (- 3)) - 1$

ステップ 12.2

$- \frac{1}{4} \cdot (x - (- 3)) - 1$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = - \frac{1}{4} \cdot (x + 3) - 1$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot 3 - 1$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot 3 - 1$

ステップ 12.2.1.4

$- \frac{1}{4} \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.4.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x}{4} - 3 (\frac{1}{4}) - 1$

ステップ 12.2.1.4.2

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4} - 1$

ステップ 12.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{3}{4} - 1$

ステップ 12.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.3

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3 - 1 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 3 - 4}{4}$

ステップ 12.2.5.2

$- 3$ から $4$ を引きます。

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- 7}{4}$

ステップ 12.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}, y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 3, - 1)$

頂点： $(- 1, - 1), (- 5, - 1)$

焦点： $(- 3 + \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1), (- 3 - \frac{\sqrt{17}}{2}, - 1)$

偏心： $\frac{\sqrt{17}}{4}$

焦点のパラメータ： $\frac{\sqrt{17}}{136}$

漸近線： $y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$ 、 $y = - \frac{x}{4} - \frac{7}{4}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例