微分積分学準備例

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{256} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y + 5)}^{2}}{256} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 12$

$b = 16$

$k = - 5$

$h = - 3$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 3, - 5)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(16)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + {(16)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$16$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{144 + 256}$

ステップ 5.3.3

$144$ と $256$ をたし算します。

$\sqrt{400}$

ステップ 5.3.4

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{20^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$20$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(9, - 5)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 15, - 5)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(9, - 5), (- 15, - 5)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(17, - 5)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 23, - 5)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(17, - 5), (- 23, - 5)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(16)}^{2}}}{12}$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + 16^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.2

$16$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{144 + 256}}{12}$

ステップ 8.3.1.3

$144$ と $256$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{400}}{12}$

ステップ 8.3.1.4

$400$ を $20^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{12}$

ステップ 8.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{20}{12}$

ステップ 8.3.2

$20$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{4 (5)}{12}$

ステップ 8.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3}$

ステップ 8.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{3}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{16^{2}}{20}$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$16$ を $2$ 乗します。

$\frac{256}{20}$

ステップ 9.3.2

$256$ と $20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$4$ を $256$ で因数分解します。

$\frac{4 (64)}{20}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 5}$

ステップ 9.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 5}$

ステップ 9.3.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{64}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 3)) - 5$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 3)) - 5$

ステップ 11.2

$\frac{4}{3} \cdot (x - (- 3)) - 5$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 3) - 5$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 11.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 11.2.1.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{4 x}{3} + 4 - 5$

ステップ 11.2.2

$4$ から $5$ を引きます。

$y = \frac{4 x}{3} - 1$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 3)) - 5$

ステップ 12.2

$- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 3)) - 5$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 3) - 5$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 12.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.4.1

$- \frac{4}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 12.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 4}{3} \cdot 3 - 5$

ステップ 12.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 4 - 5$

ステップ 12.2.1.5

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{4 x}{3} - 4 - 5$

ステップ 12.2.2

$- 4$ から $5$ を引きます。

$y = - \frac{4 x}{3} - 9$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{4 x}{3} - 1, y = - \frac{4 x}{3} - 9$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 3, - 5)$

頂点： $(9, - 5), (- 15, - 5)$

焦点： $(17, - 5), (- 23, - 5)$

偏心： $\frac{5}{3}$

焦点のパラメータ： $\frac{64}{5}$

漸近線： $y = \frac{4 x}{3} - 1$ 、 $y = - \frac{4 x}{3} - 9$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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