微分積分学準備例

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 1

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{16} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 3$

$k = 2$

$h = - 1$

ステップ 4

双曲線の中心は $(h, k)$ の形に従います。 $h$ と $k$ の値に代入します。

$(- 1, 2)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離 $c$ を求めます。

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ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + 9}$

ステップ 5.3.3

$16$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{25}$

ステップ 5.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{5^{2}}$

ステップ 5.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$5$

ステップ 6

対頂点を求めます。

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ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、 $a$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(3, 2)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、 $h$ から $a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と $a$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 5, 2)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は $(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(3, 2), (- 5, 2)$

ステップ 7

焦点を求めます。

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ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、 $c$ を $h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(4, 2)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、 $h$ から $c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と $c$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 6, 2)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(4, 2), (- 6, 2)$

ステップ 8

離心率を求めます。

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ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と $b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

ステップ 8.3.3

$16$ と $9$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

ステップ 8.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

ステップ 8.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5}{4}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

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ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{3^{2}}{5}$

ステップ 9.3

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9}{5}$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1)) + 2$

ステップ 11

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1)) + 2$

ステップ 11.2

$\frac{3}{4} \cdot (x - (- 1)) + 2$ を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x + 1) + 2$

ステップ 11.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot 1 + 2$

ステップ 11.2.1.3

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot 1 + 2$

ステップ 11.2.1.4

$\frac{3}{4}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} + 2$

ステップ 11.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 11.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 11.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 + 8}{4}$

ステップ 11.2.5.2

$3$ と $8$ をたし算します。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{11}{4}$

ステップ 12

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 12.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1)) + 2$

ステップ 12.2

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (- 1)) + 2$ を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x + 1) + 2$

ステップ 12.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot 1 + 2$

ステップ 12.2.1.3

$x$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1 + 2$

ステップ 12.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} + 2$

ステップ 12.2.1.5

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2$

ステップ 12.2.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 12.2.3

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.2.5.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4}$

ステップ 12.2.5.2

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{11}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心： $(- 1, 2)$

頂点： $(3, 2), (- 5, 2)$

焦点： $(4, 2), (- 6, 2)$

偏心： $\frac{5}{4}$

焦点のパラメータ： $\frac{9}{5}$

漸近線： $y = \frac{3 x}{4} + \frac{11}{4}$ 、 $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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