微分積分学準備例

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

ステップ 1

括弧を削除します。

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2

$4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ は $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ です。

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ です。

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4

簡約します。

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ステップ 2.1.4.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.4

分配則を当てはめます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.6

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.4.7

$4$ から $1$ を引きます。

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.7

$\frac{y + 5}{4}$ に $\frac{- y + 3}{4}$ をかけます。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.8

$4$ に $4$ をかけます。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.9

$\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.9.1

$(y + 5) (- y + 3)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.9.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.9.3

分数 $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.11

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ をまとめます。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.12.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.12.2

共通因数を約分します。

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.1.12.3

式を書き換えます。

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.3

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

ステップ 2.5

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

微分積分学準備 例

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