微分積分学準備例

$4 \cos^{2} (2 x) - 2 = 0$ , $x = \frac{π}{8}$

ステップ 1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$4 \cos^{2} (2 x) = 2$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2

$4 \cos^{2} (2 x) = 2$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$4 \cos^{2} (2 x) = 2$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \cos^{2} (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos^{2} (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\cos^{2} (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

$x = \frac{π}{8}$

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。