微分積分学準備例

$\sin (x) < 0$ , $\cos (x) < 0$

ステップ 1

1番目の不等式を簡約します。

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ステップ 1.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x < \arcsin (0)$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x < 0$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 1.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 1.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 1.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.7

答えをまとめます。

$x = π n$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.9.1

区間 $0 < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.9.1.1

区間 $0 < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\sin (2) < 0$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.1.3

左辺 $0.90929742$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.2

区間 $π < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.9.2.1

区間 $π < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.2.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\sin (5) < 0$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.2.3

左辺 $- 0.95892427$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真と $\cos (x) < 0$

ステップ 1.9.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < π$ 偽

$π < x < 2 π$ True and $\cos (x) < 0$

$0 < x < π$ 偽

$π < x < 2 π$ True and $\cos (x) < 0$

ステップ 1.10

解はすべての真の区間からなります。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $\cos (x) < 0$

ステップ 2

2番目の不等式を簡約します。

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ステップ 2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x < \arccos (0)$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x < \frac{π}{2}$

ステップ 2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = \frac{π}{2} + π n$

ステップ 2.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

ステップ 2.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.9.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.1.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = 3$

ステップ 2.9.1.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $\sin (3) < 0$

ステップ 2.9.1.3

左辺 $0.14112$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and False

ステップ 2.9.2

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.9.2.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $x = 6$

ステップ 2.9.2.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $\sin (6) < 0$

ステップ 2.9.2.3

左辺 $- 0.27941549$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and True

ステップ 2.9.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 真

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ False

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ 真

ステップ 2.10

解はすべての真の区間からなります。

$π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$ と $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例