微分積分学準備例

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

ステップ 1

1番目の不等式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$4^{x} < y$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 1.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 1.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (4^{x})$ を展開します。

$x \ln (4) < \ln (y)$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 1.4

$x \ln (4) < \ln (y)$ の各項を $\ln (4)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$x \ln (4) < \ln (y)$ の各項を $\ln (4)$ で割ります。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 1.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$\ln (4)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 1.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < 8 - x^{2}$

ステップ 2

2番目の不等式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $8 - x^{2} > y$

ステップ 2.2

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- x^{2} > y - 8$

ステップ 2.3

$- x^{2} > y - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- x^{2} > y - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.3.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1.1

$\frac{y}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.3.3.1.2

$- 1 \cdot y$ を $- y$ に書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.3.3.1.3

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $x^{2} < - y + 8$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

ステップ 2.5

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $| x | < \sqrt{- y + 8}$

ステップ 2.6

$| x | < \sqrt{- y + 8}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.6.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x < \sqrt{- y + 8}$

ステップ 2.6.3

$x < \sqrt{- y + 8}$ の定義域を求め、 $x \geq 0$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1

$x < \sqrt{- y + 8}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.1

$\sqrt{- y + 8}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- y + 8 \geq 0$

ステップ 2.6.3.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.2.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$- y \geq - 8$

ステップ 2.6.3.1.2.2

$- y \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.2.2.1

$- y \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.3.1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.3.1.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.3.1.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.3.1.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$y \leq 8$

ステップ 2.6.3.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 8]$

ステップ 2.6.3.2

$x \geq 0$ と $(- \infty, 8]$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 8$

ステップ 2.6.4

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.6.5

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x < \sqrt{- y + 8}$

ステップ 2.6.6

$- x < \sqrt{- y + 8}$ の定義域を求め、 $x < 0$ との交点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1

$- x < \sqrt{- y + 8}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1.1

$\sqrt{- y + 8}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- y + 8 \geq 0$

ステップ 2.6.6.1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1.2.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$- y \geq - 8$

ステップ 2.6.6.1.2.2

$- y \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1.2.2.1

$- y \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.6.1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.6.1.2.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.6.6.1.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.6.1.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$y \leq 8$

ステップ 2.6.6.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 8]$

ステップ 2.6.6.2

$x < 0$ と $(- \infty, 8]$ の交点を求めます。

$x < 0$

ステップ 2.6.7

区分で書きます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 2.7

$0 \leq x \leq 8$ のとき、 $x < \sqrt{- y + 8}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$y$ について $x < \sqrt{- y + 8}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

$y$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\sqrt{- y + 8} > x$

ステップ 2.7.1.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

ステップ 2.7.1.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- y + 8}$ を ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

ステップ 2.7.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.2.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.2.1.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

ステップ 2.7.1.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

ステップ 2.7.1.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > x^{2}$

ステップ 2.7.1.3.2.1.2

簡約します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > x^{2}$

ステップ 2.7.1.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y > x^{2} - 8$

ステップ 2.7.1.4.2

$- y > x^{2} - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.2.1

$- y > x^{2} - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.7.1.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.7.1.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.7.1.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.4.2.3.1.1

$\frac{x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.7.1.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.7.1.4.2.3.1.3

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - x^{2} + 8$

ステップ 2.7.2

$y < - x^{2} + 8$ と $0 \leq x \leq 8$ の交点を求めます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

ステップ 2.8

$x < 0$ のとき、 $- x < \sqrt{- y + 8}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$y$ について $- x < \sqrt{- y + 8}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.1

$y$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\sqrt{- y + 8} > - x$

ステップ 2.8.1.2

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3

不等式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- y + 8}$ を ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.2.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.2.1.1

${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3.2.1.2

簡約します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

ステップ 2.8.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.3.1

${(- x)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.3.3.1.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

ステップ 2.8.1.3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > 1 x^{2}$

ステップ 2.8.1.3.3.1.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y + 8 > x^{2}$

ステップ 2.8.1.4

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $- y > x^{2} - 8$

ステップ 2.8.1.4.2

$- y > x^{2} - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.2.1

$- y > x^{2} - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.8.1.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.8.1.4.2.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.8.1.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1.4.2.3.1.1

$\frac{x^{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.8.1.4.2.3.1.2

$- 1 \cdot x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 2.8.1.4.2.3.1.3

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ と $y < - x^{2} + 8$

ステップ 2.8.2

$y < - x^{2} + 8$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

ステップ 2.9

解の和集合を求めます。

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例