微分積分学準備例

$x = 2 t - 1$ , $y = t^{3}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 2 t - 1$

ステップ 2

方程式を $2 t - 1 = x$ として書き換えます。

$2 t - 1 = x$

ステップ 3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 t = x + 1$

ステップ 4

$2 t = x + 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 t = x + 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 t}{2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = {(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6

${(\frac{x}{2} + \frac{1}{2})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

二項定理を利用します。

$y = {(\frac{x}{2})}^{3} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.2

$2$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 {(\frac{x}{2})}^{2} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.3

積の法則を $\frac{x}{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{2^{2}} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + 3 \frac{x^{2}}{4} \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.5

$3$ と $\frac{x^{2}}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.6

まとめる。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{4 \cdot 2} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.8

$4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + 3 \frac{x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.9

$3$ と $\frac{x}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.10

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.11

まとめる。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.12

指数を足して $2$ に $2^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.12.1

$2$ に $2^{2}$ をかけます。

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ステップ 6.2.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{1 + 2}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.12.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1^{2}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.13.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x \cdot 1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.13.2

$3$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.14

$2$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3}$

ステップ 6.2.15

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1^{3}}{2^{3}}$

ステップ 6.2.16

1のすべての数の累乗は1です。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{2^{3}}$

ステップ 6.2.17

$2$ を $3$ 乗します。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2}}{8} + \frac{3 x}{8} + \frac{1}{8}$

微分積分学準備 例

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