微分積分学準備例

$x = t^{2} + t + 1$ , $y = 2 t$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = t^{2} + t + 1$

ステップ 2

方程式を $t^{2} + t + 1 = x$ として書き換えます。

$t^{2} + t + 1 = x$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$t^{2} + t + 1 - x = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6

$1$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6

$1$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = \frac{- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $\sqrt{- 3 + 4 x}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{- 3 + 4 x})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.7

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.3

分配則を当てはめます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.6

$1$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.4

$- 1$ を $- 1 - \sqrt{- 3 + 4 x}$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$- 3$ と $4 x$ を並べ替えます。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x - 3}}{2}$

ステップ 8.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x - 3}}{2}$

ステップ 8.4.3

$- 1$ を $- \sqrt{4 x - 3}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x - 3})}{2}$

ステップ 8.4.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{4 x - 3})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}$

ステップ 8.4.5

$- 1 (1 + \sqrt{4 x - 3})$ を $- (1 + \sqrt{4 x - 3})$ に書き換えます。

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$

ステップ 9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = - \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$

ステップ 10

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2})$

ステップ 11

$2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2})$ を簡約します。

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ステップ 11.1

$2$ に行列の各要素を掛けます。

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.1

$- \frac{1 - \sqrt{- 3 + 4 x}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.1.2

共通因数を約分します。

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.1.3

式を書き換えます。

$y = (- (1 - \sqrt{- 3 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.2

分配則を当てはめます。

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 - - \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.4

$- - \sqrt{- 3 + 4 x}$ を掛けます。

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ステップ 11.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = (- 1 + 1 \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.4.2

$\sqrt{- 3 + 4 x}$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}))$

ステップ 11.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.5.1

$- \frac{1 + \sqrt{4 x - 3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2}))$

ステップ 11.2.5.2

共通因数を約分します。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x - 3})}{2})$

ステップ 11.2.5.3

式を書き換えます。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x - 3}))$

ステップ 11.2.6

分配則を当てはめます。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x - 3})$

ステップ 11.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 + \sqrt{- 3 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x - 3})$

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