微分積分学準備例

$x = t^{2} + t$ , $y = 2 t - t$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = t^{2} + t$

ステップ 2

方程式を $t^{2} + t = x$ として書き換えます。

$t^{2} + t = x$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$t^{2} + t - x = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $\sqrt{1 + 4 x}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.7

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.4

$- 1$ を $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$1$ と $4 x$ を並べ替えます。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 8.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 8.4.3

$- 1$ を $- \sqrt{4 x + 1}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.4.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.4.5

$- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ を $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ に書き換えます。

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 10

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})$

ステップ 11

$- 1$ に $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ をかけます。

$y = 2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12

$2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$2$ に行列の各要素を掛けます。

$y = (2 (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.1.1

$- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = (2 (\frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.1.2

共通因数を約分します。

$y = (2 \frac{- (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.1.3

式を書き換えます。

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- (1 - \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = (- 1 \cdot 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 - - \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.4

$- - \sqrt{1 + 4 x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = (- 1 + 1 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.4.2

$\sqrt{1 + 4 x}$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.2.5.1

$- \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 (\frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.5.2

共通因数を約分します。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, 2 \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.5.3

式を書き換えます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - (1 + \sqrt{4 x + 1})) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.6

分配則を当てはめます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.2

$(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.1

$2$ を $(- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1})$ の左に移動させます。

$y = \frac{2 \cdot (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}, - 1 - \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.2

$2$ に行列の各要素を掛けます。

$y = \frac{(2 (- 1 + \sqrt{1 + 4 x}), 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.3

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.4.3.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 (- 1 - \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.3.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, 2 \cdot - 1 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 + 2 (- \sqrt{4 x + 1})) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 12.4.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

$y = \frac{(- 2 + 2 \sqrt{1 + 4 x}, - 2 - 2 \sqrt{4 x + 1}) + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$y = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例