微分積分学準備例

$x = t^{2} + t$ , $y = \sqrt{t^{2} - t}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = t^{2} + t$

ステップ 2

方程式を $t^{2} + t = x$ として書き換えます。

$t^{2} + t = x$

ステップ 3

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$t^{2} + t - x = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 7.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = \frac{- 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $\sqrt{1 + 4 x}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{1 + 4 x})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 - \sqrt{1 + 4 x})}{2}$

ステップ 7.7

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 8.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 8.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

ステップ 8.4

$- 1$ を $- 1 - \sqrt{1 + 4 x}$ で因数分解します。

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ステップ 8.4.1

$1$ と $4 x$ を並べ替えます。

$t = \frac{- 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 8.4.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 8.4.3

$- 1$ を $- \sqrt{4 x + 1}$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.4.4

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{4 x + 1})$ で因数分解します。

$t = \frac{- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.4.5

$- 1 (1 + \sqrt{4 x + 1})$ を $- (1 + \sqrt{4 x + 1})$ に書き換えます。

$t = \frac{- (1 + \sqrt{4 x + 1})}{2}$

ステップ 8.5

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = - \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}$

$t = - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$

ステップ 10

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} - (- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}$

ステップ 11

$- 1$ に $- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}$ をかけます。

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

ステップ 12

$\sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 12.1

${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = \sqrt{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

ステップ 12.2

項を簡約します。

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ステップ 12.2.1

${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

ステップ 12.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \sqrt{\frac{{(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} \cdot 2 + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

ステップ 12.3

$2$ を ${(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2}$ の左に移動させます。

$y = \sqrt{\frac{2 {(- \frac{1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2})}^{2} + 1 - \sqrt{1 + 4 x}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{4 x + 1}}{2}}$

微分積分学準備 例

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