微分積分学準備例

$x = t + \frac{1}{t}$ , $y = t - \frac{1}{t}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = t + \frac{1}{t}$

ステップ 2

方程式を $t + \frac{1}{t} = x$ として書き換えます。

$t + \frac{1}{t} = x$

ステップ 3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, t, 1$

ステップ 3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$t$

ステップ 4

$t + \frac{1}{t} = x$ の各項に $t$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.1

$t + \frac{1}{t} = x$ の各項に $t$ を掛けます。

$t \cdot t + \frac{1}{t} t = x t$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$t$ に $t$ をかけます。

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

ステップ 4.2.1.2

$t$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

ステップ 4.2.1.2.2

式を書き換えます。

$t^{2} + 1 = x t$

ステップ 5

方程式を解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x t$ を引きます。

$t^{2} + 1 - x t = 0$

ステップ 5.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.3

$a = 1$ 、 $b = - x$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4

簡約します。

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ステップ 5.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$4 \cdot 1 \cdot 1$ を ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = - x$ であり、 $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ です。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.3

簡約します。

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ステップ 5.4.1.3.1

$2 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.3.2

$- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 5.4.1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.3.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.1.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 5.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.5.1.1

$4 \cdot 1 \cdot 1$ を ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.2

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.5.1.3.1

$2 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.3.2

$- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 5.5.1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.3.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.1.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 5.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 5.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$4 \cdot 1 \cdot 1$ を ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.2

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3

簡約します。

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ステップ 5.6.1.3.1

$2 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3.2

$- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1.3.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.1.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 5.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 5.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

ステップ 6

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = (\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}) - \frac{1}{(\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2})}$

微分積分学準備 例

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