微分積分学準備例

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

ステップ 2

方程式を $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ として書き換えます。

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

ステップ 3

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

ステップ 3.2.1.1.2

$\sqrt{4 - t^{2}}$ を $1$ で割ります。

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

ステップ 3.2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

ステップ 3.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = t$ です。

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

ステップ 4

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ を ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + t) (2 - t)$ を展開します。

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ステップ 5.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 5.2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.1.3

$2$ を $t$ の左に移動させます。

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.1.5

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.3.1.5.1

$t$ を移動させます。

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.1.5.2

$t$ に $t$ をかけます。

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.2

$- 2 t$ と $2 t$ をたし算します。

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.2.1.4

簡約します。

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

${(\frac{x}{4})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

積の法則を $\frac{x}{4}$ に当てはめます。

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

ステップ 6

$t$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

ステップ 6.2

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.2.2.2

$t^{2}$ を $1$ で割ります。

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.2.3.1.2

$- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ を $- \frac{x^{2}}{16}$ に書き換えます。

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 6.2.3.1.3

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

ステップ 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

ステップ 6.4

$\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

式を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$\frac{x^{2}}{16}$ を ${(\frac{x}{4})}^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$- {(\frac{x}{4})}^{2}$ と $2^{2}$ を並べ替えます。

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

ステップ 6.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = \frac{x}{4}$ です。

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.4

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.5

公分母の分子をまとめます。

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.6

$2$ に $4$ をかけます。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.7

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.8

$2$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

ステップ 6.4.9

公分母の分子をまとめます。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

ステップ 6.4.10

$2$ に $4$ をかけます。

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

ステップ 6.4.11

$\frac{8 + x}{4}$ に $\frac{8 - x}{4}$ をかけます。

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

ステップ 6.4.12

$4$ に $4$ をかけます。

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

ステップ 6.4.13

$\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ を ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.13.1

$(8 + x) (8 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

ステップ 6.4.13.2

$16$ から完全累乗 $4^{2}$ を因数分解します。

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.4.13.3

分数 $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

ステップ 6.4.14

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

ステップ 6.4.15

$\frac{1}{4}$ と $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ をまとめます。

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

ステップ 6.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

ステップ 6.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

ステップ 6.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

ステップ 7

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

ステップ 8

$3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ を簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

ステップ 8.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ です。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

ステップ 8.1.3

簡約します。

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ステップ 8.1.3.1

$- 1$ に行列の各要素を掛けます。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

ステップ 8.1.3.2

$- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

ステップ 8.1.3.2.2

$\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ に $1$ をかけます。

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

ステップ 8.2

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

ステップ 8.2.2

式を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3$ に $1$ をかけます。

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

ステップ 8.2.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.3

$8$ と $x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.4

$8$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.5

$8$ と $x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.6

$8$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.7

$8$ と $x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.8

$8$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.9

$8$ と $x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

ステップ 8.2.2.10

$8$ と $- x$ を並べ替えます。

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$

微分積分学準備 例

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