微分積分学準備例

$x (t) = 2 - t$ , $y (t) = 2 t^{2} - t^{3}$

ステップ 1

$x (t)$ につて媒介変数方程式を設定し、 $t$ について方程式を解きます。

$x = 2 - t$

ステップ 2

方程式を $2 - t = x$ として書き換えます。

$2 - t = x$

ステップ 3

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- t = x - 2$

ステップ 4

$- t = x - 2$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- t = x - 2$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

$\frac{x}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$t = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.3.1.2

$- 1 \cdot x$ を $- x$ に書き換えます。

$t = - x + \frac{- 2}{- 1}$

ステップ 4.3.1.3

$- 2$ を $- 1$ で割ります。

$t = - x + 2$

ステップ 5

方程式の中の $t$ を $y$ で置き換え、 $x$ について方程式を得ます。

$y = 2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6

$2 {(- x + 2)}^{2} - {(- x + 2)}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.1

${(- x + 2)}^{2}$ を $(- x + 2) (- x + 2)$ に書き換えます。

$y = 2 ((- x + 2) (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 2) (- x + 2)$ を展開します。

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ステップ 6.1.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 2 (- x (- x + 2) + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.2.2

分配則を当てはめます。

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x + 2)) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.2.3

分配則を当てはめます。

$y = 2 (- x (- x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = 2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.4

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} - x \cdot 2 + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} - 2 x + 2 (- x) + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 2 \cdot 2) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$y = 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$y = 2 (x^{2} - 4 x + 4) - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.4

分配則を当てはめます。

$y = 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.5

簡約します。

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ステップ 6.1.5.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - {(- x + 2)}^{3}$

ステップ 6.1.6

二項定理を利用します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- x)}^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 6.1.7.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - ({(- 1)}^{3} x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 {(- x)}^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.3

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 (1 x^{2}) \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.5

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.6

$2$ に $3$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} + 3 (- x) \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.8

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 3 x \cdot 4 + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.9

$4$ に $- 3$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 2^{3})$

ステップ 6.1.7.10

$2$ を $3$ 乗します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - (- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8)$

ステップ 6.1.8

分配則を当てはめます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 - - x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

ステップ 6.1.9

簡約します。

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ステップ 6.1.9.1

$- - x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 6.1.9.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + 1 x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

ステップ 6.1.9.1.2

$x^{3}$ に $1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - (6 x^{2}) - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

ステップ 6.1.9.2

$6$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} - (- 12 x) - 1 \cdot 8$

ステップ 6.1.9.3

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 1 \cdot 8$

ステップ 6.1.9.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

ステップ 6.2

項を加えて簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2 x^{2} - 8 x + 8 + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.1.1

$8$ から $8$ を引きます。

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + 0$

ステップ 6.2.1.2

$2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ と $0$ をたし算します。

$y = 2 x^{2} - 8 x + x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$

ステップ 6.2.2

$2 x^{2}$ から $6 x^{2}$ を引きます。

$y = - 4 x^{2} - 8 x + x^{3} + 12 x$

ステップ 6.2.3

$- 8 x$ と $12 x$ をたし算します。

$y = - 4 x^{2} + x^{3} + 4 x$

ステップ 6.2.4

$- 4 x^{2}$ と $x^{3}$ を並べ替えます。

$y = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$

微分積分学準備 例

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