微分積分学準備例

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

ステップ 2.2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

ステップ 2.3

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

ステップ 2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

ステップ 2.3.2

$- \frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{21}{21}$ を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

ステップ 2.3.3

$- \frac{1}{21}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $84$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{21}{21}$ をかけます。

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.4.2

$4$ に $21$ をかけます。

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 2.3.4.3

$\frac{1}{21}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

ステップ 2.3.4.4

$21$ に $4$ をかけます。

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

ステップ 2.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 21 - 4}{84}$

ステップ 2.3.6

$- 21$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 25}{84}$

ステップ 2.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

ステップ 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

ステップ 4.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

ステップ 4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$\frac{221}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

ステップ 4.2.2.1.2

$21$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$21$ を $- 84$ で因数分解します。

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{221}{4} - - 4$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$- \frac{221}{4} + 4$

ステップ 4.2.2.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.2.2.3

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

ステップ 4.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 221 + 16}{4}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 221$ と $16$ をたし算します。

$\frac{- 205}{4}$

ステップ 4.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

ステップ 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

ステップ 4.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

ステップ 4.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

ステップ 4.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$5$ を $205$ で因数分解します。

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

ステップ 4.7.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

ステップ 4.7.3

共通因数を約分します。

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

ステップ 4.7.4

式を書き換えます。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

ステップ 4.8

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$4$ を $84$ で因数分解します。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

ステップ 4.8.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

ステップ 4.8.3

式を書き換えます。

$x = 41 (\frac{21}{5})$

ステップ 4.9

$41$ と $\frac{21}{5}$ をまとめます。

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

ステップ 4.10

$41$ に $21$ をかけます。

$x = \frac{861}{5}$

ステップ 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$2$ を $- 84$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- 42 - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2.2

$- 42$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2.3

$- 42$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

ステップ 5.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

ステップ 5.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.5.1

$- 42$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 84 - 221}{2}$

ステップ 5.2.2.5.2

$- 84$ から $221$ を引きます。

$\frac{- 305}{2}$

ステップ 5.2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

ステップ 5.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

ステップ 5.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

ステップ 5.7

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

$5$ を $305$ で因数分解します。

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

ステップ 5.7.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

ステップ 5.7.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

ステップ 5.7.4

式を書き換えます。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

ステップ 5.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$2$ を $84$ で因数分解します。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

ステップ 5.8.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

ステップ 5.8.3

式を書き換えます。

$y = 61 (\frac{42}{5})$

ステップ 5.9

$61$ と $\frac{42}{5}$ をまとめます。

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

ステップ 5.10

$61$ に $42$ をかけます。

$y = \frac{2562}{5}$

ステップ 6

連立方程式の解を記載します。

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例