微分積分学準備例

$2 x - 5 y = - 2$ , $- \frac{1}{4} x + 2 y = 7$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$

ステップ 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 5 \\ - \frac{1}{4} & 2 \end{array} |$

ステップ 2.2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot 2 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

ステップ 2.3

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 - (- \frac{1}{4} \cdot - 5)$

ステップ 2.3.1.2

$- \frac{1}{4} \cdot - 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$4 - (5 (\frac{1}{4}))$

ステップ 2.3.1.2.2

$5$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$4 - \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.2

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.3

$4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{5}{4}$

ステップ 2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \cdot 4 - 5}{4}$

ステップ 2.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{16 - 5}{4}$

ステップ 2.3.5.2

$16$ から $5$ を引きます。

$\frac{11}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

ステップ 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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ステップ 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & - 5 \\ 7 & 2 \end{array} |$

ステップ 4.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 2 \cdot 2 - 7 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 - 7 \cdot - 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 7$ に $- 5$ をかけます。

$- 4 + 35$

ステップ 4.2.2.2

$- 4$ と $35$ をたし算します。

$31$

$D_{x} = 31$

ステップ 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 4.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $31$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{31}{\frac{11}{4}}$

ステップ 4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = 31 (\frac{4}{11})$

ステップ 4.6

$31 (\frac{4}{11})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$31$ と $\frac{4}{11}$ をまとめます。

$x = \frac{31 \cdot 4}{11}$

ステップ 4.6.2

$31$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{124}{11}$

ステップ 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 7 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - \frac{1}{4} & 7 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot 7 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$2$ に $7$ をかけます。

$14 - (- \frac{1}{4} \cdot - 2)$

ステップ 5.2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$14 - (\frac{- 1}{4} \cdot - 2)$

ステップ 5.2.2.1.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$14 - (\frac{- 1}{2 (2)} \cdot - 2)$

ステップ 5.2.2.1.2.3

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

ステップ 5.2.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$14 - (\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1))$

ステップ 5.2.2.1.2.5

式を書き換えます。

$14 - (\frac{- 1}{2} \cdot - 1)$

ステップ 5.2.2.1.3

$\frac{- 1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$14 - \frac{- - 1}{2}$

ステップ 5.2.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$14 - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.2

$14$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$14 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.3

$14$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{14 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 5.2.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.5.1

$14$ に $2$ をかけます。

$\frac{28 - 1}{2}$

ステップ 5.2.2.5.2

$28$ から $1$ を引きます。

$\frac{27}{2}$

$D_{y} = \frac{27}{2}$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $\frac{11}{4}$ for $D$ and $\frac{27}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{\frac{27}{2}}{\frac{11}{4}}$

ステップ 5.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{4}{11}$

ステップ 5.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 (2)}{11}$

ステップ 5.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{11}$

ステップ 5.6.3

式を書き換えます。

$y = 27 (\frac{2}{11})$

ステップ 5.7

$27$ と $\frac{2}{11}$ をまとめます。

$y = \frac{27 \cdot 2}{11}$

ステップ 5.8

$27$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{54}{11}$

ステップ 6

連立方程式の解を記載します。

$x = \frac{124}{11}$

$y = \frac{54}{11}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例